podzielność wielomianów

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

podzielność wielomianów

Post autor: robin5hood » 3 paź 2007, o 15:54

jak wykazać ze wielomian \(\displaystyle{ x^9+x^7+x^5+x+20}\) nie jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ x^2+1}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

podzielność wielomianów

Post autor: kuch2r » 3 paź 2007, o 16:16

Zalozmy, ze wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^9+x^7+x^5+x+20}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x^2+1}\).
Zauwazmy, ze \(\displaystyle{ x^2+1=(x-i)\cdot (x+i)}\)
Wowczas, \(\displaystyle{ (x-i)|W(x) \quad \quad (x+i)|W(x)}\).
Powyzszy 2 warunki sa rownowazne zapisowi:
\(\displaystyle{ (x-i)|W(x) \iff W(i)=0 \quad \quad (x+i)|W(x) \iff W(-i)=0}\)
Rozwazajac poszczegolne przypadki dochodzimy do sprzecznosci....

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

podzielność wielomianów

Post autor: robin5hood » 3 paź 2007, o 16:21

a bez użycia liczb zespolonych da się to rozwiązac?

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

podzielność wielomianów

Post autor: kuch2r » 3 paź 2007, o 16:55

Da sie
Zalozmy ,ze\(\displaystyle{ W(x)=x^9+x^7+x^5+x+20}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ P(x)=x^2+1}\)
Wowczas istnieje wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h}\), taki ze \(\displaystyle{ Q(x)\cdot P(x)=W(x)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ (x^2+1)\cdot (ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h)=x^9+x^7+x^5+x+20}\)
Po wymnozeniu prawej strony otrzymamy wielomian stopnia 9. Nastepnie wystarczy porownac odpowiednie wspolczynniki wystepujacy w wielomianach i rozwiazac uklad rownan.
Wiemy, ze dwa wielomiany sa sobie rowne jezeli sa tego samego stopnia oraz wspolczynniki wystepujace przy odpowiednich potegach sa takie same.

ODPOWIEDZ