Matematyka.pl

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}}\) są niezależne i mają jednakowy rozkład normalny\(\displaystyle{ N(0, \sigma ^{2})}\). Obliczyć\(\displaystyle{ P(X _{1}-5X _{2} < 5X _{3} - X_{4})}\).

Czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X _{1}-5X _{2} , 5X _{3} - X_{4}}\) są niezależne?
Czy liniowa kombinacja dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normlanym ma rozkłąd normalny?

Ja to bym się nawet pokusił o uzasadnienie, że przy warunkach zadania
\(\displaystyle{ X_1-5X_2}\) ma ten sam rozkład, co \(\displaystyle{ 5X_3-X_4}\) i \(\displaystyle{ Y=X_1-5X_2, \ Z=5X_3-X_4}\) są niezależne, ale jakkolwiek w głowie jest to krótsze rozwiązanie (bo nie trzeba przeliczać wariancji), to ewentualny sprawdzający mógłby być bardziej skłonny do cięcia punktów, niźli w przypadku zwyczajnego wyznaczenia rozkładu
\(\displaystyle{ X _{1}-5X _{2} - 5X _{3} + X_{4}}\).-- 13 sie 2018, o 16:00 --Chociaż w sumie i tak nie trzeba przeliczać wariancji, jaka by nie wyszła, będzie tak samo.

czyli liczę\(\displaystyle{ P(X _{1}-5X _{2} -5X _{3}+X _{4})}\) i rozkład normalny\(\displaystyle{ N(0, \sigma ^{2})}\) \(\displaystyle{ czyli}\) \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi } }e ^{- \frac{1}{2}( \frac{x}{\sigma} ) ^{2} }}\) i jak to mam wykorzystać