Matematyka.pl

Witam!
Bardzo proszę o pomoc w zrozumieniu poniższych zadań:

1. Obliczyć liczbę takich działań w zbiorze n-elementowym, które mają element neutralny.
2. Obliczyć liczbę takich działań przemiennych w zbiorze n-elementowym, które mają elementy neutralny.

Znam odpowiedzi do tych zadań, jednak proszę o wytlumaczenie. Odpowiedzi, ktore znalazlam na forum nie pomogly mi niestety w zrozumieniu tych zadań.

Spróbujmy… Zliczamy oczywiście po różnych tabelkach działań.
Ponumerujmy elementy naszego zbioru i dla uproszczenia popatrzmy na nasze tabelki jak na macierze \(\displaystyle{ n\times n}\) wypełnione liczbami ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2, \ldots n\right\}}\).
1. Dla ustalenia uwagi elementowi neutralnemu przypiszmy jedynkę. Wówczas pierwszy wiersz to po prostu \(\displaystyle{ 1 \ 2 \ldots n}\) i pierwsza kolumna podobnie, tylko w pionie.
Pozostało \(\displaystyle{ (n-1)^2}\) pól do wypełnienia i dla każdego z nich mamy \(\displaystyle{ n}\) możliwości, co daje \(\displaystyle{ n^{(n-1)^2}}\) tabelek.

2. Zauważmy, że jeśli działanie jest przemienne, to tabelka jest symetryczna względem wielkiej przekątnej, więc mamy w zasadzie do wypełnienia (przypominam, że pierwszy wiersz jest przypisany wynikom \(\displaystyle{ e*a}\), więc ma wygląd \(\displaystyle{ 1 \ 2\ldots \ n}\)) \(\displaystyle{ (n-1)+(n-2)+\ldots+1=\frac{n(n-1)}{2}}\) pól (wówczas dla pozostałych pól wartości będą zdeterminowane; patrzymy na „górny" trójkąt ograniczony wielką przekątną, w drugim wierszu mamy w nim \(\displaystyle{ n-1}\) pól, w trzecim \(\displaystyle{ n-2}\) pola i tak dalej, do \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza) i w związku z tym interesujących nas działań jest \(\displaystyle{ n^{\frac{n(n-1)}{2}}}\).

Premislav pisze:1. Dla ustalenia uwagi elementowi neutralnemu przypiszmy jedynkę.

Możesz to wyjaśnić?

Chyba nie. W zasadzie to jest niedomówienie: zakładam, że element neutralny jest z góry ustalony, tak więc jeśli uznajemy, że element neutralny działania nie jest ustalony, to jeszcze trzeba te wyniki przemnożyć przez \(\displaystyle{ n}\), sorry.

Bardzo dziekuje za pomoc!