Całka zespolona

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna

Całka zespolona

Post autor: Mondo » 5 sie 2018, o 18:42

Witam,

nie rozumiem dlaczego dla całki po krzywej liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ \int_{C}^{}f(z)dz := \int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt}\)
\(\displaystyle{ t : [a,b] \rightarrow D}\)

zastosowany taki zapis? Dlaczego krzywa C nagle stała się argumentem funkcji całkowanej?

Dziękuję

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Całka zespolona

Post autor: Janusz Tracz » 5 sie 2018, o 18:55

Bo \(\displaystyle{ z=x+iy}\) a całkujemy po krzywej danej parametrycznie jako \(\displaystyle{ c(t)=x(t)+iy(t)=\left( x(t),y(t)\right)}\). Wtedy również \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t}=c'(t) \Rightarrow \mbox{d}c(t)=c'(t) \mbox{d}t}\)

Kaf
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 817
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Całka zespolona

Post autor: Kaf » 5 sie 2018, o 19:13

Małe pytanie: jak masz zdefiniowaną całkę krzywoliniową? Bo często definiuje się ją właśnie przy pomocy tego wzoru. Drugą możliwością jest zdefiniowanie jej przy pomocy sum Riemanna (analogicznie jak dla zwykłych całek oznaczonych). Tutaj krótki szkic:

Jak definiujemy całkę Riemanna z funkcji \(\displaystyle{ f\colon \left[ a, b\right] \to \RR}\)? Ano bierzemy podział przedziału \(\displaystyle{ \left[ a, b\right]}\) postaci:
\(\displaystyle{ a=t_0<t_1<\dotsb <t_n=b}\)
i przypisuje się mu następującą sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} f\left( t_i\right) \left(t_{i+1}-t_{i}\right)}\)
Całką z \(\displaystyle{ f}\) po przedziale \(\displaystyle{ \left[ a, b\right]}\) nazywa się wtedy granicę tej sumy, gdy średnica podziału zbiega do zera*

Analogicznie możemy zdefiniować całkę z funkcji zespolonej. W tym przypadku rolę przedziału \(\displaystyle{ \left[ a, b\right]}\) przybiera krzywa, po której całkujemy (zrozumiała analogia, bo w końcu na prostej też całkujemy po pewnej krzywej, mianowicie po odcinku). Reszta analogicznie: podziałowi
\(\displaystyle{ a=t_0<t_1<\dotsb <t_n=b}\)
i przypisujemy sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} f\left( c\left( t_i\right)\right) \left( c\left( t_{i+1}\right)-c\left( t_i\right)\right)}\)
i znowu rozważamy granicę tej sumy, gdy średnica podziału zbiega do zera* (zauważ, że wcześniej w nawiasie były punkty przedziału, teraz są punkty na krzywej)

Okazuje się, że te podejścia są równoważne tzn. całka policzona pierwszym sposobem daje ten sam wynik, co całka policzona drugim sposobem**, więc jeśli chcesz znać powód tej równości, to należałoby spojrzeć na dowód tego faktu: z grubsza wystarczy rozpisać sumy częściowe tej całki krzywoliniowej po lewej i całki oznaczonej po prawej. Jak się zastosuje twierdzenie Lagrange'a i trochę porachuje, to wyjdzie równość w granicy.

* formalnie bierze się granicę ciągu uogólnionego zdefiniowanego na odpowiednim zbiorze skierowanym, ew. pisze się słownie definicję tej zbieżności, ale zakładam, że to było na analizie I. Zresztą to nie jest w tym momencie do niczego potrzebne. Dodatkowo w tych sumach całkowych powinny się pojawić punkty pośrednie, ale to też nie ma znaczenia w tym momencie, a ja jestem zbyt leniwy na to :(

** jedyną różnicą jest to, że w pierwszym sposobie krzywa powinna być kawałkami klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^1}\), a w drugim wystarczy, że jest prostowalna, więc poniekąd druga definicja jest ogólniejsza. Z drugiej strony w zastosowaniach wystarcza ten pierwszy rodzaj krzywych, więc sporo podręczników nie rozdrabnia się i korzysta z tej pierwszej definicji

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna

Re: Całka zespolona

Post autor: Mondo » 15 sie 2018, o 22:22

Janusz Tracz pisze:Bo \(\displaystyle{ z=x+iy}\) a całkujemy po krzywej danej parametrycznie jako \(\displaystyle{ c(t)=x(t)+iy(t)=\left( x(t),y(t)\right)}\). Wtedy również \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t}=c'(t) \Rightarrow \mbox{d}c(t)=c'(t) \mbox{d}t}\)

Zgadzam się, że \(\displaystyle{ z=x+iy}\) a także, że \(\displaystyle{ c(t)=x(t)+iy(t)}\). Natomiast dalej zupełnie nie rozumiem dlaczego krzywa nagle stała się parametrem funkcji?

-- 15 sie 2018, o 23:24 --
Kaf pisze:Małe pytanie: jak masz zdefiniowaną całkę krzywoliniową? Bo często definiuje się ją właśnie przy pomocy tego wzoru. Drugą możliwością jest zdefiniowanie jej przy pomocy sum Riemanna (analogicznie jak dla zwykłych całek oznaczonych).
No całka jest zdefiniowana jak zapisałem w pierwszym poście:
\(\displaystyle{ \int_{C}^{}f(z)dz := \int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt}\)

a krzywa C to \(\displaystyle{ x + iy}\)

natomiast no dlaczego ta krzywa staje się argumentem funkcji podcałkowej?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Całka zespolona

Post autor: Janusz Tracz » 15 sie 2018, o 22:32

Dlatego że całkujesz "po krzywej", czyli można sobie wyobrazić że idziesz po płaszczyźnie zespolonej i punkty na ścieżce jaką idziesz dają wartości \(\displaystyle{ f(z)=f(\text{punkt na krzywej})}\). Punkty na krzywej są zadane parametrycznie \(\displaystyle{ \left( x(t),y(t)\right)}\) stąd \(\displaystyle{ z(t)=x(t)+iy(t)}\). Zapis \(\displaystyle{ \left( x(t),y(t)\right)}\) kojarzy się z płaszczyzną \(\displaystyle{ \RR^2}\) i opisuje krzywą można to jednak naturalnie utożsamić z krzywą zespoloną wtedy opisana jest \(\displaystyle{ z(t)=x(t)+iy(t)}\).

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna

Całka zespolona

Post autor: Mondo » 19 sie 2018, o 14:21

Okay, niby rozumiem ale - całka z funkcji zespolonej \(\displaystyle{ f(z)}\) po krzywej \(\displaystyle{ C}\) została "przedefiniowana" na całkę z iloczynu wartości funkcji w punkcie zespolonym oraz pochodnej w tym punkcie, na odcinku [a,b]. O tyle o ile rozumiem zapis \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(c(t))}\) to nie rozumiem dlaczego finalnie dochodzi jeszcze mnożenie przez pochodną naszej krzywej w punkcie. Czyli:
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Całka zespolona

Post autor: Janusz Tracz » 19 sie 2018, o 14:42

To jest konsekwencją tego o czym pisałem wcześniej. Patrząc na punkty z płaszczyzny zespolonej tworzące jakiś zbiór (krzywą) punkty \(\displaystyle{ z}\) parametryzujemy nową zmienną \(\displaystyle{ t}\) i utożsamiamy z krzywą \(\displaystyle{ c(t)}\) i dlatego \(\displaystyle{ z=c(t)}\). To zamieniania \(\displaystyle{ f(z)}\) na \(\displaystyle{ f(c(t))}\) i to już mamy omówione. Ale spójrz teraz na \(\displaystyle{ \mbox{d}z}\) które też mamy w całce \(\displaystyle{ \int_{C}^{}f(z) \mbox{d}z}\) i musi zostać zamienione naturalnie zamiami się na \(\displaystyle{ \mbox{d}c(t)}\) (skoro \(\displaystyle{ z=c(t)}\)) i dalej zapiszmy tak:

\(\displaystyle{ \mbox{d}z= \mbox{d}c(t)= \mbox{d}c(t) \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}t}= \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t} \mbox{d}t}\)

Teraz spójrz na \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t}}\) jest to pochodna \(\displaystyle{ c(t)}\) czyli inaczej zapisując jest to \(\displaystyle{ c'(t)}\) a więc

\(\displaystyle{ \mbox{d}z=c'(t) \mbox{d}t}\)

stąd się właśnie bierze ta pochodna. Ostatecznie mamy

\(\displaystyle{ \int_{C}^{}f(z) \mbox{d}z= \int_{a}^{b}f(c(t))c'(t) \mbox{d}t}\)

Kaf
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 817
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Całka zespolona

Post autor: Kaf » 19 sie 2018, o 14:55

Przy czym należy pamiętać, że rozumowanie użytkownika Janusz Tracz nie jest poprawne/ścisłe z punktu widzenia matematyki.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Całka zespolona

Post autor: Janusz Tracz » 19 sie 2018, o 15:22

poprawne/ścisłe
Te słowa nie są zamienne. Definicja nie musi mieć uzasadnienia na przykład mógłbym zdefiniować jakieś pojęcie matematyczne i jakoś je opisać. Tylko że takie pojęcie mogło by być bezużyteczne na gruncie matematyki choć poprawne. Definicje które się ostały w matematyce, oprócz tego że są oczywiście poprawne są też uzasadnione jakimiś intuicjami. Pokazałem intuicje stojącą za takim sposobem definiowania całki zespolonej. Tak samo jak najpierw zaczyna się od prostokątów pod wykresem i intuicją a dopiero potem przechodzi się do sum Riemanna. Czy można zrobić na odwrót? Pewnie że można, zasypać pojęciami granicy,pochodnej itd. tylko kto coś z tego wyniesie bez zrozumienia potrzeby istnienia tych pojęć dla matematyki.

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna

Re: Całka zespolona

Post autor: Mondo » 19 sie 2018, o 15:25

Kaf, a mógłbyś trochę szerzej, co konkretnie w tym co opisał Janusz Tracz, nie jest poprawne?

Kaf
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 817
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Całka zespolona

Post autor: Kaf » 19 sie 2018, o 15:52

Janusz Tracz, nie twierdzę, że te pojęcia są zamienne. Faktycznie, sposób zapisuj był trochę dwuznaczny, za nieporozumienie przepraszam.

Mondo, bardziej chodziło mi o to, że nie należy myśleć, że jest to rozumowanie matematyczne, bo nie można "wyprowadzić definicji" (jak już Janusz napisał). Jest to bardziej uzasadnienie pewnej intuicji (jak sam Janusz potwierdza), tylko w sposób trochę zbyt symboliczny jak na mój gust i nie dający całkiem prawidłowej intuicji. Takie "przedłużamy notację" (co oczywiście też ma plusy). Tak stricte to niepoprawny jest ten fragment (i to co się z nim wiąże):
\(\displaystyle{ \mbox{d}z= \mbox{d}c(t)= \mbox{d}c(t) \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}t}= \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t} \mbox{d}t}\)
Jest to przykład "abuse of notation" (nie znam polskiego odpowiednika). Symbol \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t}}\) nie jest ułamkiem i nie można go traktować jak ułamka. Same obiekty typu \(\displaystyle{ \mbox{d}z}\) istnieje (są to formy różniczkowe), ale nie ma w nich operacji, która nadawałaby sensu takim operacjom na ułamkach (chociaż wszystkie równości wyżej są prawdziwe, tylko z innych powodów). Dla np. pochodnych cząstkowych takie "lekkie traktowanie notacji" może dosyć szybko prowadzić to zupełnie błędnych wyników. Chcę tylko zaznaczyć, że należy wiedzieć, co wynika z matematyki, a co jest tylko (niepoprawną) zabawą symbolami.

tl;dr Czepiam się, ale w słusznej sprawie

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna

Re: Całka zespolona

Post autor: Mondo » 19 sie 2018, o 19:03

Tak po prawdzie to właśnie ten zapis jest dla mnie nie jasny:

\(\displaystyle{ \mbox{d}z= \mbox{d}c(t)= \mbox{d}c(t) \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}t}= \frac{ \mbox{d}c(t)}{ \mbox{d}t} \mbox{d}t}\)

No bo tak, z jednej strony po tej zamianie argumentu funkcji pod całkowej musieliśmy również zmienić "drogę całkowania" więc powiedzmy że ma to dla mnie sens. Natomiast jeśli chodzi właśnie o ten mały przyrost który musimy wymnożyć aby dostać wartość całki (pole pod krzywą?) to skoro wcześniej było to \(\displaystyle{ z}\) (liczba zespolona) to pytanie co to powinno być teraz kiedy to idziemy po liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ [a,b]}\)?
Kaf pisze: Czepiam się, ale w słusznej sprawie
Żeby wszyscy się tak czepiali to było by wspaniale ;]

Kaf
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 817
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Całka zespolona

Post autor: Kaf » 19 sie 2018, o 19:57

Idziemy po krzywej ciągle, tylko że układem współrzędnych/"mapą" na tej krzywej jest przedział \(\displaystyle{ \left[ a, b\right]}\). Te "przyrosty" to różnice \(\displaystyle{ \left( c\left( t_{i+1}\right)-c\left( t_i\right)\right)}\) (por. mój wcześniejszy post), czyli taki wektor między kolejnymi punktami na krzywej.

Swoją drogą, może to Ci jakoś ułatwi: jeśli zdefiniujemy sobie całkę krzywoliniową właśnie jako
\(\displaystyle{ \int_a^b f\left( c\left( t \right) \right) c'\left(t\right) \mbox{d}t}\)
to obecność tego czynnika \(\displaystyle{ c'\left(t\right)}\) powoduje, że wartość tej całki zależy tylko od kształtu krzywej \(\displaystyle{ c}\), a nie od prędkości poruszania się po niej. Przykład (żeby ten bełkot miał sens):
weźmy sobie dwie krzywe \(\displaystyle{ \gamma_1,\gamma_2 \colon \left[ 0,1 \right] \to \CC}\) zdefiniowane jako
\(\displaystyle{ \gamma_1 (t) = e^{2i\pi t}}\)
i
\(\displaystyle{ \gamma_2 (t) = e^{2i\pi t^2}}\)
Obie krzywe reprezentują okrąg, tylko obchodzony w innym tempie, ale dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) (dla uproszczenia powiedzmy, że ciągłej) zachodzi:
\(\displaystyle{ \int_{\gamma_1} f = \int_{\gamma_2} f}\)
Polecam jako ćwiczenie dowód tego faktu.

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna

Re: Całka zespolona

Post autor: Mondo » 20 sie 2018, o 22:47

Kaf pisze: Swoją drogą, może to Ci jakoś ułatwi: jeśli zdefiniujemy sobie całkę krzywoliniową właśnie jako
\(\displaystyle{ \int_a^b f\left( c\left( t \right) \right) c'\left(t\right) \mbox{d}t}\)
to obecność tego czynnika \(\displaystyle{ c'\left(t\right)}\) powoduje, że wartość tej całki zależy tylko od kształtu krzywej \(\displaystyle{ c}\), a nie od prędkości poruszania się po niej.
No wlaśnie nie tylko nie ułatwiło ale jeszcze zasiało ziarno watpliwości Mówisz, ze właśnie ten człon \(\displaystyle{ c'\left(t\right) \mbox{d}t}\) wpływa na to, że wartość całki nie zależy od prędkości - hmm a gdyby tego członu nie było to co byś my mieli? Czy wgl była by to całka? Od czego by zależała?

Kaf
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 817
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Całka zespolona

Post autor: Kaf » 23 sie 2018, o 21:32

Przepraszam, że tak późno odpisuję, ale zapomniałem o tym temacie

Gdyby tego \(\displaystyle{ c'\left(t\right)}\) nie było, to byłby to inny obiekt, proste A tak bardziej poważnie: chcemy, żeby całka była niezależna od parametryzacji krzywej, czyli żeby nie zależała od tego, jak wygląda funkcja \(\displaystyle{ c}\), tylko od tego jak wygląda "jej obraz" (to ostatnie nie jest całkiem prawdą, ale o tym później), czyli to co byś rysował na papierze. Tak samo jak mamy całki po rozmaitościach (względnie hiperpowierzchniach, płatach itd.) definiujemy w taki sposób, żeby ich wartość nie zależała od parametryzacji, tylko od samego "kształtu" tych tworów. Ta obecność \(\displaystyle{ c'\left(t\right)}\) jest w pewnym sensie z tych samych powodów, dla których w twierdzeniu o całkowaniu przez podstawienie występuje moduł jakobianu.

Jeśli chcesz to zobaczyć na własne oczy, to udowodnij te fakt, który zaproponowałem w ostatnim poście.

ODPOWIEDZ