Matematyka.pl

Wykaż,że dla każdej naturalnej \(\displaystyle{ n>1}\) zachodzi równość

\(\displaystyle{ \sqrt{2+ \sqrt{2+...+ \sqrt{2} } }=2\cos \frac{\pi}{2 ^{n+1} }}\) (\(\displaystyle{ n}\)pierwiastków)

Moja próba rozwiązania:
Warunek bazowy,dla \(\displaystyle{ n=1}\) zachodzi.Zakładając,że dla pewnej \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\),gdzie \(\displaystyle{ n=k}\) równość ta zachodzi,tzn.

\(\displaystyle{ \sqrt{2+ \sqrt{2+...+ \sqrt{2} } }=2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+1} }}\)

Wykażmy teraz że równość ta zachodzi też dla \(\displaystyle{ n=k+1}\).

\(\displaystyle{ \sqrt{2+ \sqrt{2+...+ \sqrt{2+ \sqrt{2} } } }=2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+2} }}\)

Tutaj mam problem bo nie wiem jak to by szło,myślę że to błąd,lecz napiszę
\(\displaystyle{ 2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+1} }+ \sqrt{2}=2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+2} }}\)

W drugim kroku powinno być, że zachodzi dla \(\displaystyle{ n \le k}\).
W trzecim kroku to wygląda tak: \(\displaystyle{ \sqrt{2+2 \cdot \cos \frac{\pi}{2^{k+1}}}}\)

Tak,\(\displaystyle{ n \le k}\) masz rację,ogólnikowo pisałem.
Jeżeli chodzi o ten pierwiastek to fajnie nie wiedziałem jak to wstawić,dzięki.
Reszta chyba dobrze.
\(\displaystyle{ \sqrt{2+2 \cdot \cos \frac{\pi}{2^{k+1}}}=2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+2} }}\)

\(\displaystyle{ 2+2 \cdot \cos \frac{\pi}{2^{k+1}}=4\cos ^{2} \frac{\pi}{2 ^{k+2} }}\)

\(\displaystyle{ 1+\cos \frac{\pi}{2^{k+1}}=2\cos ^{2} \frac{\pi}{2 ^{k+2} }}\)

\(\displaystyle{ \cos 0+\cos \frac{\pi}{2^{k+1}}=2\cos ^{2} \frac{\pi}{2 ^{k+2} }}\)

\(\displaystyle{ 2\cos \frac{ \frac{\pi}{2 ^{k+1} } }{2}\cdot \cos \frac{ \frac{\pi}{2 ^{k+1} }}{2}=2\cos ^{2} \frac{\pi}{2 ^{k+2} }}\)

\(\displaystyle{ 2\cos ^{2} \frac{\pi}{2 ^{k+2} }=2\cos ^{2} \frac{\pi}{2 ^{k+2} }}\)
c.n.d

Taki (niezbyt elegancki) sposób przeprowadzania dowodów indukcyjnych wymaga, by wszystkie przejścia były równoważne (co trzeba wyraźnie zaznaczyć i w wątpliwych miejscach uzasadnić). A to miejsce

xxDorianxx pisze: \(\displaystyle{ \sqrt{2+2 \cdot \cos \frac{\pi}{2^{k+1}}}=2\cos \frac{\pi}{2 ^{k+2} }}\)

\(\displaystyle{ 2+2 \cdot \cos \frac{\pi}{2^{k+1}}=4\cos ^{2} \frac{\pi}{2 ^{k+2} }}\)

jest dla mnie wątpliwe.

JK

Ma Pan na myśli fakt braku komentarza gdy dźwigam obustronnie do kwadratu?
Jeśli tak to oczywiście, zapomniałem o tym tutaj wspomnieć,jednakże jest to dozwolone gdyż
\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{2^{k+2}}}}\) zwraca dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) spełniającego założenia wartości dodatnie.Gdyż wszystkie te argumenty leżą w przedziale od \(\displaystyle{ \left( 0; \frac{\pi}{8}\right\rangle}\).Dlatego że najmniejsze możliwe \(\displaystyle{ k}\) to \(\displaystyle{ 1}\).A wtedy argument wynosi właśnie nasze \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\) a wraz z wzrostem wartości \(\displaystyle{ k}\) maleje wartość całego wyrażenia do \(\displaystyle{ 0}\) co wynika z faktu \(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty } \frac{\pi}{2 ^{k+2} }=0}\).A w tym przedziale wartości są dodatnie co widać ładnie na wykresie \(\displaystyle{ f(x)=\cos x}\)
Podobnie dochodzimy do wniosku lewej strony naszego równania.Mam nadzieję,że tutaj mam rację.Jeśli tak nie jest proszę o poprawienie mnie.Pozdrawiam

xxDorianxx pisze:Ma Pan na myśli fakt braku komentarza gdy dźwigam obustronnie do kwadratu?

Dokładnie o to mi chodziło. Dowód to nie tylko rachunki.

JK