Matematyka.pl

Witam,

zastanawiam się jak można policzyć przybliżony czas potrzebny do schłodzenia się herbaty wystawionej na dwór. Powiedzmy, że początkowa temperatura herbaty to \(\displaystyle{ 95^{o}C}\), temperatura otoczenia to \(\displaystyle{ 0^{o}C}\) (teraz trochę za ciepło na herbatę, więc załóżmy, że jest zima) a poszukiwana przez nas wartość to czas, po którym temperatura herbaty osiągnie wartość \(\displaystyle{ 30^{o}C}\).

Znalazłem informacje o tzw. prawie stygnięcia (Newtona), ale najwyraźniej do jego wykorzystania trzeba znać jedno rozwiązanie (temperaturę po jakimś czasie np. przyjąć, że po \(\displaystyle{ 10 s}\) jest \(\displaystyle{ 80^{o}C}\)). A ja chciałbym to rozwiązać bez dokonywania żadnych pomiarów (zwłaszcza jeśli miałbym czekać do zimy). Czy jest to w ogóle możliwe do policzenia ? Oczywiście wystarczy mi rozwiązanie przybliżone, ale niech dokładność będzie jak największa.

Myślałem nawet o zrobieniu analizy MES, ale ona nie uwzględni parowania (w sumie czy jakiekolwiek obliczenia ręczne je uwzględnią ?).

Z góry dziękuję za pomoc

Późno jest i nie mam jak pisać więc może później się rozpisze ale zapytałeś o uwzględnienie zmiany ilości herbaty na skutek parowania. Do takiej obserwacji wystarczy tylko mieć dokładną wagę.-- 30 lip 2018, o 01:04 --A jeśli chciałbyś teoretycznie wyznaczyć pewną zależność opisująca ci zmianę objętości herbaty na skutek parowania, to bez pewnych założeń nie da rady. Także obserwacja zjawiska byłaby przydatna.

Zmiana objętości nie jest mi potrzebna, z parowaniem chodziło mi tylko o jego wpływ na wymianę ciepła (tak jak u człowieka organizm szybciej się wychładza na skutek parowania potu z powierzchni skóry). Ale jeśli nie da się tego łaywo uwzględnić to spoko, i tak wystarczy mi przybliżony wynik.

Najważniejsze pytanie to: jak policzyć czas stygnięcia bez pomiarów (prawo stygnięcoa Newtona wydaje się wtedy nie do rozwiązania) ?

Prawo Newtona mówi, że \(\displaystyle{ t'=c(t-t_e)}\),
gdzie \(\displaystyle{ t_e}\) jest temperaturą otoczenia.
Dodatkowy pomiar jest potrzebny do wyznaczenia stałej \(\displaystyle{ c}\). Jeżeli ja znasz do rozwiązywania wystarczy znajomość temperatury początkowej

A nie da rady przyjąć jakiejś wartości tej stałej z tablic tak jak robi się ze współczynnikiem przewodnictwa cieplnego ?

Pewnie gdzieś ten współczynnik można znaleźć ale pewnie zależy on od paru czynników, np od materiału, z którego zrobiony jest pojemnik.

To chyba faktycznie najlepiej go wyznaczyć doświadczalnie.

Zastanowię się jeszcze nad analizą MES. Tam potrzebny będzie tylko wsp. przewodzenia ciepła i odpowiednik konwekcyjny. Symetria osiowa uprości zagadnienie. Ale muszę dobrze przemyśleć warunki brzegowe.