2-forma różcznikowa

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

2-forma różcznikowa

Post autor: max123321 » 24 lip 2018, o 19:54

Niech \(\displaystyle{ 2}\)-forma różniczkowa \(\displaystyle{ \omega}\) zadana w \(\displaystyle{ \RR^3}\) będzie określona wzorem
\(\displaystyle{ \omega=(1+\sin x)dy \wedge dz+y\cos xdz \wedge dx}\).

Oblicz \(\displaystyle{ \int_{S}^{}\omega}\), gdzie
\(\displaystyle{ S=\left\{ (x,y,z) \in \RR^3:y^2+z^2<(1-\sin x)^2,0<x<\pi/4\right\}}\)
mającego standardową orientację \(\displaystyle{ \RR^3}\).

Jak to zrobić? Co oznaczają te "koniunkcje"?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: 2-forma różcznikowa

Post autor: janusz47 » 24 lip 2018, o 21:50

To nie koniunkcja tylko symbol iloczynu zewnętrznego .

Jak obliczamy całkę z dwuformy \(\displaystyle{ \omega ?}\)

Jakie czynności musimy wykonać ?

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: 2-forma różcznikowa

Post autor: max123321 » 25 lip 2018, o 12:16

Niestety nie wiem. Potrzebuję więcej wyjaśnień.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: 2-forma różcznikowa

Post autor: janusz47 » 25 lip 2018, o 22:08

\(\displaystyle{ \int_{(S, \tau) }\omega = \int_{ \phi(S)} \phi^{*}(\omega)}\)

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: 2-forma różcznikowa

Post autor: max123321 » 25 lip 2018, o 22:46

Niestety nie rozumiem tego zapisu. Co to jest \(\displaystyle{ \phi^{*}(\omega)}\)?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: 2-forma różcznikowa

Post autor: janusz47 » 27 lip 2018, o 13:49

\(\displaystyle{ \phi -}\) to parametryzacja obszaru \(\displaystyle{ S}\)

\(\displaystyle{ \phi^{*}(\omega)}\) - obcięcie formy do obszaru \(\displaystyle{ S}\) realizowane za pomocą włożenia "pull back".

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: 2-forma różcznikowa

Post autor: Dasio11 » 27 lip 2018, o 23:30

janusz47 pisze:\(\displaystyle{ \int_{(S, \tau) }\omega = \int_{ \phi(S)} \phi^{*}(\omega)}\)
Raczej:

\(\displaystyle{ \int \limits_S \omega = \int \limits_U \phi^*(\omega)}\)

gdzie \(\displaystyle{ \phi : U \to S}\) jest parametryzacją \(\displaystyle{ S}\), a \(\displaystyle{ \phi^*(\omega)}\) oznacza cofnięcie formy \(\displaystyle{ \omega}\) do \(\displaystyle{ U}\) przez \(\displaystyle{ \phi}\).

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

2-forma różcznikowa

Post autor: janusz47 » 28 lip 2018, o 11:17

Możemy zdefiniować całkę po obszarze \(\displaystyle{ S}\) w uproszczonej sytuacji, gdy obszar \(\displaystyle{ S}\) z orientacją \(\displaystyle{ \tau}\) mieści się w dziedzinie jednej mapy - wtedy ten zapis jest poprawny.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

2-forma różcznikowa

Post autor: Dasio11 » 28 lip 2018, o 12:12

janusz47 pisze:wtedy ten zapis jest poprawny.
Który zapis? Jeśli masz na myśli ten:
janusz47 pisze:\(\displaystyle{ \int_{(S, \tau) }\omega = \int_{ \phi(S)} \phi^{*}(\omega)}\)
to jaka jest dziedzina i przeciwdziedzina \(\displaystyle{ \phi}\) ?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: 2-forma różcznikowa

Post autor: janusz47 » 28 lip 2018, o 15:36

\(\displaystyle{ \int_{(S, \tau) }\omega = \int_{ \phi^-1(S)} \phi^{*}(\omega).}\)


\(\displaystyle{ \phi^{-1}(S)}\) - dziedzina

\(\displaystyle{ S}\) - przeciwdziedzina

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: 2-forma różcznikowa

Post autor: Dasio11 » 28 lip 2018, o 16:44

janusz47 pisze:\(\displaystyle{ \int_{(S, \tau) }\omega = \int_{ \phi^-1(S)} \phi^{*}(\omega).}\)
Oznaczanie dziedziny funkcji \(\displaystyle{ \phi}\) przez \(\displaystyle{ \phi^{-1}(S)}\) jest moim zdaniem trochę dziwne, ale teraz równość jest prawdziwa (w przeciwieństwie do wcześniejszej wersji).

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: 2-forma różcznikowa

Post autor: max123321 » 30 lip 2018, o 11:56

No dobra, ale tak bardziej po ludzku. Mam ten obszar \(\displaystyle{ S}\) sparametryzować? W jaki sposób? Dowolny? Po co ta parametryzacja w ogóle? Bez niej się nie da? No dobra niech będzie, że trzeba. No to parametryzuje tak: \(\displaystyle{ x=x,y=(1-\sin x)(\cos x),z=(1-\sin x)(\sin x)}\) i co dalej z tym? Co to jest "pull back"-owanie?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: 2-forma różcznikowa

Post autor: Dasio11 » 1 sie 2018, o 19:21

max123321 pisze:Mam ten obszar \(\displaystyle{ S}\) sparametryzować? W jaki sposób? Dowolny?
Dowolny (oczywiście przez funkcje klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^1}\)), a najlepiej taki, żeby po dziedzinie było łatwo całkować, czyli w miarę prostokątny.
max123321 pisze:Po co ta parametryzacja w ogóle?
Jeśli dany jest otwarty podzbiór \(\displaystyle{ U \subseteq \RR^n}\) i \(\displaystyle{ n}\)-forma \(\displaystyle{ \omega \in \Omega^n(U)}\), to całkę

\(\displaystyle{ \int \limits_U \omega}\)

można liczyć tak jak zwykłą całkę, ale można też sparametryzować, jeśli chcemy uprościć obszar całkowania. Jeśli natomiast mamy rozmaitość \(\displaystyle{ n}\)-wymiarową \(\displaystyle{ M^n \subseteq \RR^m}\), gdzie \(\displaystyle{ n < m}\), i \(\displaystyle{ n}\)-formę \(\displaystyle{ \omega \in \Omega^n(\RR^m)}\), to nie ma wyboru - trzeba sparametryzować zbiorem otwartym \(\displaystyle{ U \subseteq \RR^n}\), bo taka jest definicja.
max123321 pisze:No dobra niech będzie, że trzeba. No to parametryzuje tak: \(\displaystyle{ x=x,y=(1-\sin x)(\cos x),z=(1-\sin x)(\sin x)}\) i co dalej z tym?
Do parametryzowania lepiej użyć innych zmiennych, żeby się nie myliły, np. \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\). Poza tym w obecnej postaci zadanie nie ma sensu, bo \(\displaystyle{ 2}\)-formy nie można całkować po trójwymiarowej rozmaitości. Może zbiór miał być inny?

\(\displaystyle{ \left\{ (x, y, z) \in \RR^3 : y^2 + z^2 = (1 - \sin x)^2, 0 < x < \frac{\pi}{4} \right\}}\)
max123321 pisze:Co to jest "pull back"-owanie?
Przeciąganie formy.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: 2-forma różcznikowa

Post autor: max123321 » 1 sie 2018, o 22:20

Dzięki Dasio, Ty to masz łeb.
Dasio11 pisze:Jeśli dany jest otwarty podzbiór \(\displaystyle{ U \subseteq \RR^n}\) i \(\displaystyle{ n}\)-forma \(\displaystyle{ \omega \in \Omega^n(U)}\), to całkę

\(\displaystyle{ \int \limits_U \omega}\)

można liczyć tak jak zwykłą całkę, ale można też sparametryzować, jeśli chcemy uprościć obszar całkowania. Jeśli natomiast mamy rozmaitość \(\displaystyle{ n}\)-wymiarową \(\displaystyle{ M^n \subseteq \RR^m}\), gdzie \(\displaystyle{ n < m}\), i \(\displaystyle{ n}\)-formę \(\displaystyle{ \omega \in \Omega^n(\RR^m)}\), to nie ma wyboru - trzeba sparametryzować zbiorem otwartym \(\displaystyle{ U \subseteq \RR^n}\), bo taka jest definicja.


Czyli w przypadku tego zadania to nie mamy wyboru, trzeba parametryzować tak? A możesz przytoczyć o jaką definicję chodzi?


Dasio11 pisze:Do parametryzowania lepiej użyć innych zmiennych, żeby się nie myliły, np. \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\). Poza tym w obecnej postaci zadanie nie ma sensu, bo \(\displaystyle{ 2}\)-formy nie można całkować po trójwymiarowej rozmaitości. Może zbiór miał być inny?

\(\displaystyle{ \left\{ (x, y, z) \in \RR^3 : y^2 + z^2 = (1 - \sin x)^2, 0 < x < \frac{\pi}{4} \right\}}\)


Tak, tak oczywiście mój błąd, przepraszam. Zbiór jest taki jak napisałeś jedynie orientacja tego zbioru jest orientacją dziedziczoną brzegu obszaru \(\displaystyle{ S}\) co ja napisałem na górze mającego standardową orientację \(\displaystyle{ \RR^3}\).

ODPOWIEDZ