Oblicz całkę powierzchniową

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2382
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 681 razy

Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: max123321 » 24 lip 2018, o 14:02

Oblicz całkę powierzchniową
\(\displaystyle{ \int_{M}^{}F\sigma_2(d(x,y,z))}\),
gdzie \(\displaystyle{ F(x,y,z)=y}\), a \(\displaystyle{ M}\) jest powierzchnią wyciętą z kuli jednostkowej w \(\displaystyle{ \RR^3}\) o środku \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) przzeez płaszczyznę \(\displaystyle{ x=-y}\).

To po pierwsze co się kryje za tym zapisem pod całką? Czy to jest to samo co po prostu:
\(\displaystyle{ \int_{M}^{}F(x,y,z) \mbox{d}M}\)? A po drugie jak sobie poradzić z tym, że nie jest jawnie wyznaczone \(\displaystyle{ z(x,y)}\)?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: janusz47 » 24 lip 2018, o 21:45

Powierzchnię jakiej figury otrzymamy, w wyniku przecięcia jednostkowej kuli o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) płaszczyzną o równaniu \(\displaystyle{ x= -y ?}\)

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2382
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 681 razy

Re: Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: max123321 » 25 lip 2018, o 12:21

No to będzie wielkie koło kuli zawierające punkt \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) i którego wektor prostopadły doń będzie \(\displaystyle{ [1,1,0]}\).

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: janusz47 » 25 lip 2018, o 21:14

Nie! Podstawiamy \(\displaystyle{ x = -y}\) do równania jednostkowej kuli.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2382
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 681 razy

Re: Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: max123321 » 25 lip 2018, o 22:50

No to dostaniemy: \(\displaystyle{ 2y^2+z^2 \le 1}\) czyli by z tego wynikało, że będzie to elipsa, ale jak to jest możliwe, że przecięcie kuli z płaszczyzną jest czymś innym niż koło?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: janusz47 » 27 lip 2018, o 13:36

Jest to możliwe, bo jego rzuty na płaszczyzny \(\displaystyle{ Ozy}\) czy \(\displaystyle{ Oxz}\) są elipsami.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2382
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 681 razy

Re: Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: max123321 » 30 lip 2018, o 12:06

Nie bardzo sobie to mogę wyobrazić. Czyli jak to będzie: \(\displaystyle{ \int_{2y^2+z^2 \le 1}^{}y \mbox{d}S}\)
? W ten sposób?

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2382
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 681 razy

Re: Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: max123321 » 8 sie 2018, o 23:06

A tak nawiasem to głupoty gadasz. Przecięciem płaszczyzny z kulą jest koło i w tym przypadku to jest koło wielkie kuli.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: janusz47 » 9 sie 2018, o 13:46

A tak nawiasem czy równanie

\(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 = 1}\) jest równaniem koła wielkiego kuli?

_Michal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 30 lis 2014, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Edinburgh & Śląsk
Pomógł: 13 razy

Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: _Michal » 9 sie 2018, o 15:41

\(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 = 1}\)
W przestrzeni ta równość opisuję powierzchnie boczną walca eliptycznego, więc nie jest to elipsa.

Ogólnie rzecz biorąc chcemy rozwiązać taki układ (żeby wyznaczyć co to jest \(\displaystyle{ M}\))

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2 \le 1 \end{cases}}\)

Wstawienie pierwszego równania do nierówności to przejście implikacyjne więc wiemy, że te punkty muszą spełniać nierówność \(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 \le 1}\). Jednak nie wszystkie należą do przekroju.

Nie ma żadnej sprzeczności przecięcie tego walca eliptycznego z płaszczyzną \(\displaystyle{ x+y=0}\) jest kołem.

----
edit:

Tak więc \(\displaystyle{ M \subseteq \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1 \}}\) ale nie \(\displaystyle{ M = \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1\}}\).
Ostatnio zmieniony 9 sie 2018, o 17:29 przez _Michal, łącznie zmieniany 4 razy.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: janusz47 » 9 sie 2018, o 16:02

W płaszczyżnie Oyz to równanie opisuje elipsę a nie powierzchnię walca eliptycznego.

_Michal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 30 lis 2014, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Edinburgh & Śląsk
Pomógł: 13 razy

Re: Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: _Michal » 9 sie 2018, o 16:11

janusz47 pisze:W płaszczyżnie Oyz to równanie opisuje elipsę a nie powierzchnię walca eliptycznego.
No tak, ale użytkownik max123321 zauważył, że \(\displaystyle{ M}\) musi być kołem, bo przecięcie kuli płaszczyzną może być zbiorem pustym, punktem lub kołem. To doprowadziło go do sprzeczności bo przecież to równanie opisuję, według niego elipsę (nie będącą kołem).

Toteż tłumaczę dlaczego nie ma sprzeczności bo w przestrzeni to nie jest równanie elipsy, a cześć wspólna walca eliptycznego i płaszczyzny może być kołem.

----
edit:
max123321 pisze:Nie bardzo sobie to mogę wyobrazić. Czyli jak to będzie: \(\displaystyle{ \int_{2y^2+z^2 \le 1}^{}y \mbox{d}S}\)
? W ten sposób?
Nie może tak być, bo jak pisałem wyżej nierówność \(\displaystyle{ 2y^2+z^2 \le 1}\) nie opisuje płatu \(\displaystyle{ M}\).
Ostatnio zmieniony 9 sie 2018, o 16:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: janusz47 » 9 sie 2018, o 20:16

Powierzchnią boczną \(\displaystyle{ M}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\) jest:

-powierzchnia \(\displaystyle{ S_{1}}\) - walca eliptycznego o równaniu:

\(\displaystyle{ \frac{y^2}{\frac{1}{2}}+ \frac{z^2}{1} = 1}\)

\(\displaystyle{ S_{1}: \ \ y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{z^2}{2}}.}\)

- powierzchnia \(\displaystyle{ S_{2}}\) - zawarta w jednostkowej kuli - kawałka płaszczyzny o równaniu:

\(\displaystyle{ S_{2}: \ \ -y = x.}\)

Rzut obu tych powierzchni \(\displaystyle{ E}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxz}\) jest elipsą o równaniu:


\(\displaystyle{ \frac{x^2}{\frac{1}{2}} + \frac{z^2}{1} = 1.}\)


Obliczamy całki powierzchniowe niezorientowane odpowiednio po powierzchniach:

\(\displaystyle{ S_{1}:}\)

\(\displaystyle{ I_{1} = 2 \iint_{(E)} y \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{ \partial x} \right)^2+ \left (\frac{\partial y}{\partial z}\right )^2} dz dx}\) (1)

\(\displaystyle{ S_{2}:}\)

\(\displaystyle{ I_{2} = \iint_{(E)} y \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{ \partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right )^2} dz dx}\) (2)

Całka \(\displaystyle{ I}\) po powierzchi \(\displaystyle{ M}\) jest sumą tych dwóch całek:

\(\displaystyle{ I = I_{1} + I_{2}.}\)

Proszę znaleźć elementy płatów powierzchni, obliczając pochodne cząstkowe równań powierzchni \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}.}\)

Zamienić całki podwójne (1), (2) na całki podwójne iterowane po elipsie \(\displaystyle{ E.}\)

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2382
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 681 razy

Oblicz całkę powierzchniową

Post autor: max123321 » 12 sie 2018, o 20:01

_Michal pisze:
\(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 = 1}\)
W przestrzeni ta równość opisuję powierzchnie boczną walca eliptycznego, więc nie jest to elipsa.

Ogólnie rzecz biorąc chcemy rozwiązać taki układ (żeby wyznaczyć co to jest \(\displaystyle{ M}\))

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2 \le 1 \end{cases}}\)

Wstawienie pierwszego równania do nierówności to przejście implikacyjne więc wiemy, że te punkty muszą spełniać nierówność \(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 \le 1}\). Jednak nie wszystkie należą do przekroju.

Nie ma żadnej sprzeczności przecięcie tego walca eliptycznego z płaszczyzną \(\displaystyle{ x+y=0}\) jest kołem.

----
edit:

Tak więc \(\displaystyle{ M \subseteq \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1 \}}\) ale nie \(\displaystyle{ M = \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1\}}\).
No, ale zazwyczaj wstawianie jednego z równań do drugiego daje to co jest w przekroju. Kiedy tak jest? No dobrze, a jak byśmy nie mieli nierówności tylko równość i taki układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2 = 1 \end{cases}}\)

To czy wstawienie pierwszego równania do drugiego da przekrój?

ODPOWIEDZ