Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
: 19 lip 2018, o 13:19
autor: Gos_ox
Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku długości \(\displaystyle{ 1}\)obrano punkt \(\displaystyle{ P}\). Odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od wierzchołków trójkąta wynosi \(\displaystyle{ x, y, z}\).Udowodnij, że suma kwadratów tych odległości jest mniejsza od \(\displaystyle{ 2}\).
Re: Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
: 19 lip 2018, o 14:33
autor: Lider_M
Jako że jestem często ślepy w zadaniach geometrycznych, dawno temu nauczyłem się rozwiązywać zadania metodami analitycznymi, niektóre 'idą' bardzo łatwo. To udało mi się zrobić prosto z liczb zespolonych, ale da się też to przerobić na 'standardowe' rozwiązanie analityczne.
Szkic (zespol.):
Promień okregu opisanego na takich trójkącie ma długość \(\displaystyle{ R:=\frac{1}{\sqrt{3}}}\). Umieszczamy wierzchołki trójkata w punktach \(\displaystyle{ \varepsilon_i:=Re^{i\cdot\frac{2\pi}{3}}}\) dla \(\displaystyle{ i\in\{1,2,3\}}\). Obierzmy punkt \(\displaystyle{ x}\) należący do wewnątrz tego trójkąta. Chcemy udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_i|x-\varepsilon_i|^2<2.}\)
Jest to proste, gdy skorzystamy z własności \(\displaystyle{ |z|^2=z\overline{z}}\), z tego że \(\displaystyle{ \sum_i\varepsilon_i=0}\), \(\displaystyle{ |x|<R}\) oraz \(\displaystyle{ |\varepsilon_i|=R}\).
Z tego wynika, że możemy tezę trochę wzmocnić i wziąć punkt, który należy do wnętrza koła opisanego na tym trójkącie.
Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
: 19 lip 2018, o 20:36
autor: bosa_Nike
Ukryta treść:
O ile potrafisz wykazać (względnie zasady konkursu tej rangi dopuszczają pewne fakty jako ogólnie znane), że dowolny odcinek zawarty w trójkącie jest nie dłuższy od najdłuższego boku, to można dość łatwo rozwiązać to zadanie wykorzystując jego małą ogólność. \(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=.7cm,y=.7cm]
\clip(-6,-2) rectangle (2,5);
Mamy \(\displaystyle{ AB||JG,\ BC||FI,\ CA||HE}\), tzn. trójkąty \(\displaystyle{ PEF,\ PGH,\ PIJ}\) są równoboczne.
Dla punktu wewnętrznego mamy \(\displaystyle{ |PA|,|PB|,|PC|<|AB|=1}\), więc \(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2< |PA|+|PB|+|PC|}\).
Wystarczy dowieść, że \(\displaystyle{ |PA|+|PB|+|PC|< |AB|+|BC|=2}\).
Z trójkąta \(\displaystyle{ AEP}\) mamy \(\displaystyle{ |PA|<|AE|+|PE|=|AE|+|EF|}\) (trójkąt \(\displaystyle{ PEF}\) jest równoboczny).
Z trójkąta \(\displaystyle{ BGP}\) mamy \(\displaystyle{ |PB|<|BG|+|PG|=|BG|+|GH|}\) (trójkąt \(\displaystyle{ PGH}\) jest równoboczny).
Z trójkąta \(\displaystyle{ CHP}\) mamy \(\displaystyle{ |PC|<|CH|+|PH|=|CH|+|PG|=|CH|+|BF|}\) (bo \(\displaystyle{ PFBG}\) jest równoległobokiem).
Suma trzech powyższych nierówności daje nam tezę.
Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
: 19 lip 2018, o 22:06
autor: janusz47
Dla kwadratów odległości dowolnego punktu wewnątrz trójkąta od jego boków prawdziwe jest twierdzenie wynikające z twierdzenia Vincenta Vivianiego
W dowolnym trójkącie równobocznym suma kwadratów odległości dowolnego punktu \(\displaystyle{ \mathclal{P}}\) leżącego wewnątrz trójkąta od jego boków jest równa \(\displaystyle{ \frac{h^2}{2},}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ h = \frac{a\sqrt{3}}{2}}\) jest wysokością trójkąta równobocznego.
Co możemy zapisać
\(\displaystyle{ s^2 +t^2 +u^2 = \frac{h^2}{2}}\)
Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
: 20 lip 2018, o 13:00
autor: bosa_Nike
@up - no nie za bardzo. Przecież dla punktu leżącego bardzo blisko wierzchołka to wyrażenie powinno mieć wartość zbliżoną do kwadratu wysokości, a nie do połowy tego kwadratu, a poza tym to w ogóle nie jest stałe.
Re: Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
: 20 lip 2018, o 13:12
autor: Premislav
@bosa_Nike – to, co napisał janusz47, jest prawdą, ale ma się nijak do treści zadania, ponieważ w zadaniu mowa jest o odległościach między punktem wewnętrznym \(\displaystyle{ P}\) a wierzchołkami trójkąta, nie zaś bokami. Najpewniej po prostu janusz47 nieuważnie przeczytał treść zadania.
Re: Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
: 20 lip 2018, o 14:21
autor: bosa_Nike
Nie, nie jest prawdą. Jeżeli trójkąt nie jest punktem, to dla \(\displaystyle{ P}\) w wierzchołku mamy \(\displaystyle{ s^2+t^2+u^2=0^2+0^2+h^2=h^2\neq\frac{h^2}{2}}\). Co do stałej wartości, to weź trójkąt równoboczny, wyróżnij jedną wysokość, a później np. umieść \(\displaystyle{ P}\) w wierzchołku, z którego jest opuszczona, następnie w środku okręgu wpisanego, a w końcu w spodku tej wyróżnionej wysokości - będzie łatwiej to przeliczyć.
Re: Etap powiatowy - XXX Konkurs im. prof. Jana Marszała
: 20 lip 2018, o 16:49
autor: Premislav
Dobra, faktycznie, jak zwykle bzdury piszę, sorry za zawracanie głowy.