Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość
: 18 lip 2018, o 20:27
Witam,
hobbystycznie zajmuje się matematyką i zapoznałem się dziś z indukcją matematyczną. Po zrobieniu kilku najbardziej podstawowych zadań utknąłem na jednym z nich i prosiłbym o naprowadzenie na właściwe tory. Oto zadanie:
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11= \frac{1}{81} ( 10 ^{n+1} -9n-10)}\)
1.
\(\displaystyle{ n=1\\ L=1\\ P=\frac{1}{81} (10 ^{1+1} -9-10)=1}\)
więc \(\displaystyle{ L=P}\)
2. \(\displaystyle{ k\ge n}\)
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11= \frac{1}{81} (10 ^{k+1} -9k-10)}\)
3. \(\displaystyle{ n=k+1}\)
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11+k+1= \frac{1}{81} (10 ^{k+1+1} -9(k+1)-10) \\
L= \frac{1}{81} (10 ^{k+1} -9k-10)+k+1 \\
P= \frac{1}{81}(10 ^{k+2} -9(k+1)-10}\)
I tu mi już coś nie pasuje i nie daje mi spokoju:)
hobbystycznie zajmuje się matematyką i zapoznałem się dziś z indukcją matematyczną. Po zrobieniu kilku najbardziej podstawowych zadań utknąłem na jednym z nich i prosiłbym o naprowadzenie na właściwe tory. Oto zadanie:
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11= \frac{1}{81} ( 10 ^{n+1} -9n-10)}\)
1.
\(\displaystyle{ n=1\\ L=1\\ P=\frac{1}{81} (10 ^{1+1} -9-10)=1}\)
więc \(\displaystyle{ L=P}\)
2. \(\displaystyle{ k\ge n}\)
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11= \frac{1}{81} (10 ^{k+1} -9k-10)}\)
3. \(\displaystyle{ n=k+1}\)
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11+k+1= \frac{1}{81} (10 ^{k+1+1} -9(k+1)-10) \\
L= \frac{1}{81} (10 ^{k+1} -9k-10)+k+1 \\
P= \frac{1}{81}(10 ^{k+2} -9(k+1)-10}\)
I tu mi już coś nie pasuje i nie daje mi spokoju:)