Matematyka.pl

Witam serdecznie, załóżmy, że dla pewnego ciągu liczbowego \(\displaystyle{ \{a_n\}}\), nieujemnego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{1+a_n}<\infty}\).
Czy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty}\)?

Skoro
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{1+a_n}<\infty}\), to spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{1+a_n}}\), czyli
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{a_n}{1+a_n}=0}\).
Gdyby teraz \(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty }a_n>0}\), to
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty } \frac{a_n}{1+a_n} >0}\), a to jest sprzeczność. Zatem mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=0}\). Wobec tego dla dostatecznie dużych n zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{1+a_n} \ge \frac{a_n}{2}\\ \frac{2a_n}{1+a_n}\ge a_n}\)
i z kryterium porównawczego szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n}\) jest zbieżny.