[Nierówności] Udowodnij nierownosc z warunkiem

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
qsiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 15 kwie 2006, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 18 razy

[Nierówności] Udowodnij nierownosc z warunkiem

Post autor: qsiarz » 2 paź 2007, o 22:54

udowodnij, ze jesli

\(\displaystyle{ a+b+c+2=abc}\) to

\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} qslant 12}\)


edit:
zjadlem warunek ze a,b,c należą do R plus.
Ostatnio zmieniony 2 paź 2007, o 23:46 przez qsiarz, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[Nierówności] Udowodnij nierownosc z warunkiem

Post autor: Piotr Rutkowski » 2 paź 2007, o 23:18

OK, ale ta nierówność nie jest prawdziwa (przynajmniej nie dla \(\displaystyle{ a,b,c R}\)) weźmy np.
\(\displaystyle{ a=b=c=-1}\) wtedy nasz warunek jest spełniony, a nierówność spełniona nie jest

EDIT: Jeśli po prostu źle przepisałeś lub nie dodałeś jakiegoś warunku, to bardzo obiecująca wydaje mi się taka postać, że wystarczy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ abc+\frac{16}{abc}\geq 16+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\). Oczywiście tylko jeśli czegoś nie dopisałeś

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7053
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2625 razy
Pomógł: 687 razy

[Nierówności] Udowodnij nierownosc z warunkiem

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 paź 2007, o 03:18

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(a^2+b^2) q ab =\frac{a+b+c+2}{c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(a^2+c^2) q ac =\frac{a+b+c+2}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(c^2+b^2) q bc =\frac{a+b+c+2}{a}}\)

+


Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Nierówności] Udowodnij nierownosc z warunkiem

Post autor: Sylwek » 4 lip 2008, o 18:52

Troszkę stary temat, ale dopiszę inny sposób, niech \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{abc}, x>0}\), wtedy:
\(\displaystyle{ abc=a+b+c+2 \geqslant 3\sqrt[3]{abc}+2 \\ x^3 \geqslant 3x+2 \\ (x+1)^2(x-2) \geqslant 0 \ (ale \ x>0): \\ x-2 qslant 0 \iff \sqrt[3]{abc}=x\geqslant 2}\)

Wracając do zadania, na mocy nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 qslant 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3\sqrt[3]{abc}^2 qslant 3 2^2=12 \ \blacksquare}\)

ODPOWIEDZ