Równanie różniczkowe z rozwiązaniem ogólnym

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Skinn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 9 cze 2009, o 14:30
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe z rozwiązaniem ogólnym

Post autor: Skinn » 10 lip 2018, o 12:57

Witam.
Mam do rozwiązania następujący problem.

Mam podane pewne równanie:
\(x''(r)+G(r) \cdot x(r)=0\),
gdzie \(G(r)\) jest znaną funkcją.

Oraz jego rozwiązanie:
\(x(r)= \sqrt{B(r) \cdot C} \cdot \cos [P(r)+D]\)


1. Zadanie mówi abym podstawił rozwiązanie ogólne do pierwszego równania i abym rozważył oddzielnie sinusy i cosinusy uzyskując parę równań różniczkowych dla \(B(r)\) i \(P(r)\).

Starałem się to rozwiązać, próbowałem obliczyć drugą pochodną \(x''(r)\) (która jest bardzo rozbudowana) a następnie wstawiłem ją oraz \(x(r)= \sqrt{B(r) \cdot C} \cdot \cos [P(r)+D]\) do równania \(x''(r)+G(r) \cdot x(r)=0\). Czy to jest dobry tok postępowania? Wiele lat nie miałem styczności z równaniami różniczkowymi.
Wówczas mam jedno równanie i dwie niewiadome \(B(r)\) i \(P(r)\), które nie wiem jak obliczyć.


2. Następnie mam znaleźć zależność pomiędzy \(B(r)\) i \(P(r)\) przez pokazanie, że jedno z wyliczonych równań różniczkowych z podpunktu pierwszego jest równoważne z warunkiem:
\(B(r) \cdot P'(r)=A\) gdzie \(A\) jest dowolną stałą.

Zakładam że jak obliczę \(B(r)\) i \(P(r)\) będę musiał zrobić pochodną \(P'(r)\), wstawić do tego równania \(B(r) \cdot P'(r)=A\) i próbować otrzymać stałą nie zależną od \(r\)?

Z góry bardzo dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 10 lip 2018, o 13:08 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

ODPOWIEDZ