Tw. całkowe o residuach

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Bembolineob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 3 gru 2014, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Tw. całkowe o residuach

Post autor: Bembolineob » 5 lip 2018, o 22:01

Korzystając z tw. całkowego o residuach oblicz

\(\int_{C}^{} \tg z dz\)

Gdzie \(C\) jest okręgiem zadanym równaniem
\(|z-\pi|=\pi\)

Jak to ugryźć?
Ostatnio zmieniony 5 lip 2018, o 23:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Tw. całkowe o residuach

Post autor: Janusz Tracz » 5 lip 2018, o 22:16

Biegunami są \(z_0= \frac{\pi}{2}\) oraz \(z_1= \frac{3\pi}{2}\) ze względy na \(\cos z\) w mianowniku.

Jednak można pokazać że residua nie zależą od wartości bieguna.

\(\text{res}_{z_i}\left\{\tg z \right\}= \frac{\sin z}{\left( \cos z\right)' }=-1\)

Więc

\(\oint_{C}^{} \tg z \ \mbox{d}z=2\pi i \left( -1+\left( -1\right) \right)=-4\pi i\)

Bembolineob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 3 gru 2014, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Tw. całkowe o residuach

Post autor: Bembolineob » 5 lip 2018, o 22:21

Czyli
\(\int_{C}^{} tgz dz = 2\pi j ( \frac{\pi}{2} + \frac{3}{2} \pi)\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Tw. całkowe o residuach

Post autor: Janusz Tracz » 5 lip 2018, o 22:26

Nie.
Więc

\(\oint_{C}^{} \tg z \ \mbox{d}z=2\pi i \left( -1+\left( -1\right) \right)=-4\pi i\)
We wzorze jest suma residuów a nie biegunów.

ODPOWIEDZ