żS-2, od: robin5hood, zadanie 4

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-2, od: robin5hood, zadanie 4

Post autor: Liga » 2 paź 2007, o 22:04

robin5hood pisze:rozpatrzmy proste zawierające owe cięciwy.

najpierw zajmijmy się tylko tymi z nich, które mogą być określone równaniem kierunkowym (czyli zostawiam sobie na później szczególny przypadek, gdy cięciwa jest równoległa do osi \(\displaystyle{ OY}\))

wówczas cięciwa zawiera się w prostej opisanej ogólnym równaniem:
\(\displaystyle{ y=ax+b}\), przy czym na tej prostej znajduje się też punkt (3, 0). Tak więc:
\(\displaystyle{ 0=3a+b}\)
b=-3a
tak więc równanie prostej po przejściach:
y=ax-3a

zauważmy, że punkty przecięcia się tej prostej z okręgiem (czyli po prostu końce cięciwy) są rozwiązaniami układu:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=25 \\ y=ax-3a \end{array}}\)
Pozbywamy się y i otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ (a^2+1)x^2-6a^2x+9a^2-25=0}\)
zauważmy, że skoro rozwiązaniami tego równania są odcięte końców cięciwy, to odcięta środka cięciwy jest średnią arytmetyczną z rozwiązań tego równania kwadratowego. Tak więc wzór ogólny na x (odciętą środka cięciwy) względem a wygląda tak:
\(\displaystyle{ x=\frac{3a^2}{a^2+1}}\) (odcięta wierzchołka paraboli z powyższego równania)
Ponieważ mamy zależność y=ax-3a, stąd:
\(\displaystyle{ y=\frac{-3a}{a^2+1}}\)
zauważmy, że:
\(\displaystyle{ x^2=y^2a^2}\)
tymczasem wartość \(\displaystyle{ a^2}\) możemy policzyć ze wzoru na x:
\(\displaystyle{ a^2={x \over 3-x}}\) (bo \(\displaystyle{ x 3}\), co wynika z założenia o nierównoległości cięciwy do \(\displaystyle{ OY}\))
podstawiamy to do wcześniejszej zależności i po prostych przeróbkach mamy w końcu:
\(\displaystyle{ x^2+y^2-3x=0}\)

na koniec rozpatrujemy przypadek, gdy cięciwa jest równoległa do osi OY. Wówczas jej środkiem jest oczywiście punkt (3, 0). Ponieważ spełnia on zależność \(\displaystyle{ x^2+y^2-3x=0}\), stąd ostatecznie szukanym w zadaniu równaniem jest:

\(\displaystyle{ x^2+y^2-3x=0}\)
Ostatnio zmieniony 8 paź 2007, o 19:56 przez Liga, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6662
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2593 razy
Pomógł: 684 razy

żS-2, od: robin5hood, zadanie 4

Post autor: mol_ksiazkowy » 2 paź 2007, o 23:54

poprawnie, bez zarzutu, gdyby tak
jeszcze napisał ze jest to okrag podał srodek
i promien....
moze 4 pkt ?

ODPOWIEDZ