Udowodnij,że..wynik jest liczbą całkowitą.

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
adil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 2 paź 2007, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: RMB

Udowodnij,że..wynik jest liczbą całkowitą.

Post autor: adil » 2 paź 2007, o 21:41

Proszę, udowodnijcie, że to działanie da wynik w postaci liczby całkowitej.

\(\displaystyle{ \frac{1^{1988}+2^{1989}+3^{1990}}{1+2+3}}\)

Pozdrawiam!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Udowodnij,że..wynik jest liczbą całkowitą.

Post autor: kuch2r » 2 paź 2007, o 23:20

Zadanie sprowadza sie do rownowaznej formy:
Czy \(\displaystyle{ 6|1^{1988}+2^{1989}+3^{1990}}\) ??
Skoro dane wyrazenie ma byc podzielne przez 6, to musi byc podzielne przez 2 i przez 3.
Wykazemy nastepnie podzielnosc przez 2.
Rozwazmy kongruencje modulo 2.
Stad:
\(\displaystyle{ 1^{1988}+2^{1989}+3^{1990}\equiv 1^{1988}+1^{1990}\equiv 0 \quad \mod \ 2}\)
Nastepnie modulo 3.
\(\displaystyle{ 1^{1988}+2^{1989}+3^{1990}\equiv 1^{1988}+(-1)^{1989}\equiv 0 \quad \mod \ 3}\)
Zatem wykazalismy podzielnosc przez 2 i 3. Co za tym idzie podzielnosc przez 6.
Wniosek nasze wyrazenie \(\displaystyle{ 1^{1988}+2^{1989}+3^{1990}}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 1+2+3}\) daje wynik w postaci calkowitej

ODPOWIEDZ