Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
Witam serdecznie.
Mam problem z następującym zadaniem, nie wiem jak się do niego zabrać:
Wykazać, że \(\displaystyle{ F:C([0,1]) \rightarrow C([0,1])}\) jest ciągła:
dla \(\displaystyle{ f \in C([0,1])}\) i \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\)
\(\displaystyle{ (F(f))(x) = \int_{0}^{x} f(t)\cos t \, \dd t - 2f(1)}\)
Wykazać że F jest ciągła
: 27 cze 2018, o 20:01
autor: Dasio11
\(\displaystyle{ F}\) można przedstawić jako sumę dwóch funkcji:
\(\displaystyle{ F_1(f)(x) = \int \limits_0^x f(t) \cos t \, \dd t \\
F_2(f)(x) = -2f(1) \\
F = F_1 + F_2}\)
Potrafisz pokazać, że któraś z nich jest ciągła?
Wykazać że F jest ciągła
: 27 cze 2018, o 20:08
autor: Mirgos
Z tego co rozumiem muszę w tym zadaniu skorzystać z warunku Lipschitza i podać L dla którego funkcja spełnia ten warunek
Wykazać że F jest ciągła
: 27 cze 2018, o 20:08
autor: Premislav
Ta funkcja tak na oko jest nawet lipszycowska, o ile się nie walnąłem.
propozycja rozwiązania, jak chcesz sam, to nie patrz:
Niech \(\displaystyle{ \|f-g\|=\sup_{x \in [0,1]}|f(x)-g(x)|}\) (standardowa norma w \(\displaystyle{ C[0,1]}\)).
Wtedy: \(\displaystyle{ \|F(f)-F(g)\|=\sup_{x \in [0,1]}\left| \int_{0}^{x} f(t)\cos t \, \dd t - 2f(1)
-\left( \int_{0}^{x} g(t)\cos t \, \dd t - 2g(1)
\right) \right|\le \\ \le \sup_{x\in [0,1]}\left( \left| \int_{0}^{x}(f(t)-g(t))\cos t\,\dd t \right|+2\left| f(1)-g(1)\right| \right) \le \\ \le \sup_{x\in [0,1]}\left(\int_{0}^{x} \left| f(t)-g(t)\right|\cos t\,\dd t +2\left| f(1)-g(1)\right| \right)\le \\ \le \|f-g\| \int_{0}^{1}\cos t\,\dd t+2\|f-g\|=(2+\sin 1)\|f-g\|}\)
gdzie w pierwszej nierówności skorzystałem z nierówności trójkąta, dalej poszło szacowanie \(\displaystyle{ \left| \int_{}^{} f\right|\le \int_{}^{} |f|}\), no i szacowanie całki oznaczonej.