Matematyka.pl

Dla danej tabelki:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
x_k & f(x_k) & f'(x_k) & f''(x_k) \\ \hline
0 & 0 & - & - \\
1 & -1& -2 & 12 \\
2 & 11 & - & - \\ \hline
\end{array}}\)
znajdź współczynniki wielomianu interpolacyjnego Hermita \(\displaystyle{ w}\) stopnia nie większego niż cztery w bazie Newtona związanej z węzłami interpolacji przy pomocy algorytmu różnic dzielonych.

Jak to zrobić??

Robi się taki diagram trójkątny. Zapisanie tego tutaj przekracza moje możliwości czasowe. Ogólnie zadanie jest trywialne.

Jeśli znasz to podejście dla wzoru Newtona, przejście na wzór Hermite'a będzie łatwe. Tutaj węzeł \(\displaystyle{ 1}\) zapisujesz trzykrotnie. W różnicach rzędu drugiego będzie tam \(\displaystyle{ f'(1)}\) zaś w różnicy rzędu \(\displaystyle{ 3}\) będzie tam \(\displaystyle{ \frac{f^{\prime\prime}(1)}{2}.}\) Poza tym różnice wyznaczamy jak dla diagramu we wzorze Newtona.

Odp. \(\displaystyle{ w(x)=\frac{{{x}^{4}}}{2}+\frac{11\cdot {{x}^{3}}}{2}-\frac{27\cdot {{x}^{2}}}{2}+\frac{13\cdot x}{2}.}\)

Zrobienie diagramu zajęło mi pół minuty. To naprawdę proste. Nie linkuję skana, bo to niedozwolone.

Co do wzoru Newtona, spójrz na mój blog:

Szczegóły Twojego zadania omówione są w książce Chenney'a Analiza numeryczna na str. 322-323.