Matematyka.pl

\(\displaystyle{ X_{i}, i=1, ..., n, n \ge 1}\) — niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ U\left(0, 1 \right)}\),
\(\displaystyle{ S_{n}= \sum_{i=1}^{n}X_{i} ,\\
Z_{n}=\max \left(X_{i}, ..., X_{n}\right)}\).

Obliczyć \(\displaystyle{ Cov\left(S_{n}, Z_{n}\right)}\).

Mamy

\(\displaystyle{ Cov\left(S_{n}, Z_{n}\right)=E\left(S_{n}Z_{n}\right)-ES_{n}EZ_{n}}\)

\(\displaystyle{ E\left(S_{n}Z_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}E\left(X_{i}\max \left(X_{1}, ..., X_{n}\right) \right)=nE\left(X_{1}\max \left(X_{1}, ..., X_{n}\right)\right)}\)

Niech \(\displaystyle{ U=\max \left(X_{1}, ..., X_{n}\right), V=X_{1}}\). Dla \(\displaystyle{ 0 \le v \le u \le 1}\) mamy

\(\displaystyle{ F\left(v,u\right)=P\left(V\le v, U\le u\right)=P\left(U\le u\right)-P\left(U\le u, V>v\right)=\\=P\left(X_{1}\le u, ..., X_{n}\le u\right)-P\left(v<X_{1}\le u, X_{2}\le u, ..., X_{n}\le u\right)=vu^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ f\left(v, u\right)=\frac{\partial^{2}}{\partial v \partial u}vu^{n-1}=\left(n-1\right)u^{n-2}}\)

\(\displaystyle{ E\left(VU\right)= \int_{0}^{1} \int_{0}^{u} vu\left(n-1\right) u^{n-2} \mbox{d}v \mbox{d}u= \frac{n-1}{2\left( n+2\right) }}\)

\(\displaystyle{ E\left(S_{n}Z_{n}\right)= \frac{n\left(n-1\right)}{2\left(n+2\right)}}\)

\(\displaystyle{ ES_{n}=nEV=\frac{n}{2}}\)

\(\displaystyle{ F\left(u\right)=u^{n}, f\left(u\right)=nu^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ EZ_{n}=EU=\frac{n}{n+1}}\)

Co tu jest źle?

\(\displaystyle{ F\left(v,u\right)=P\left(V\le v, U\le u\right)=P\left(U\le u\right)-P\left(U\le u, V>v\right)=P\left(X_{1}\le u, ..., X_{n}\le u\right)-P\left(v<X_{1}\le u, X_{2}\le u, ..., X_{n}\le u\right)=vu^{n-1}}\)
To nie do końca prawda
\(\displaystyle{ F\left(v,u\right)= \left\{ \begin{array}{cc} u^n, \quad u,v \in [0,1] , \quad u \le v \\ v u^{n-1}, \quad u,v \in [0,1] , \quad u>v \end{array} \right}\)

Napisałem, że

\(\displaystyle{ F\left(v, u\right)=vu^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le v \le u \le 1}\).

Dystrybuanta w całej okazałości prezentuje się oczywiście tak:

\(\displaystyle{ F\left(v, u\right)=\begin{cases} vu^{n-1}, \hbox{ jeśli } 0 \le v \le u \le 1\\u^{n}, \hbox{ jeśli } 0 \le u \le 1, v>u\\ v, \hbox{ jeśli } 0 \le v \le 1, u>1\\1, \hbox{ jeśli } u, v >1\\0, \hbox{ jeśli } v<0 \hbox{ lub } u<0 \end{cases}}\).

Ale nie obliczenie całej dystrybuanty jest celem zadania. Nie trzeba jej też liczyć dla wszystkich obszarów, bowiem, jeśli wyjdziemy poza obszar zmienności którejś ze zmiennych, gęstość się wyzeruje, więc musimy pozostać w trójkącie \(\displaystyle{ 0 \le v \le u \le 1}\). Tyle że zaprezentowane obliczenia dają w wyniku funkcję \(\displaystyle{ f\left(v,u\right)=\left( n-1\right) u ^{n-2}}\), która nie jest gęstością na tym trójkącie, bo całka z \(\displaystyle{ f}\) po tym trójkącie nie jest równa 1. Albo więc gdzieś się mylę, albo nie widzę czegoś, czego tu brakuje.