Matematyka.pl

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) mają rozkład jednostajny na zbiorze \(\displaystyle{ \{ 0,...,n \}}\). Określono zmienną losową \(\displaystyle{ Z=X^2 - 2XY +Y^2}\). Znaleźć jej rozkład i wartość oczekiwaną.

Utknęłam w takim miejscu:

\(\displaystyle{ F_{Z} (k) =P(Z \le k) =P((X-Y) ^{2} \le k)}\)

Czy zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne?

Nie było tego w treści.. Ale załóżmy, że tak

Więc \(\displaystyle{ P((X-Y)^2 = k) = P(X-Y = \sqrt{k}) + P(X-Y = -\sqrt{k})}\), dla \(\displaystyle{ k \neq 0}\),
z kolei \(\displaystyle{ P((X-Y)^2 = 0) = P(X-Y = 0)}\)

Jeśli \(\displaystyle{ k \neq t^2}\) to te prawdopodobieństwa są \(\displaystyle{ 0}\), więc nie ma czego liczyć. Zakładamy \(\displaystyle{ k = t^2}\).

Teraz, żeby policzyć \(\displaystyle{ P(X-Y = t)}\) skorzystamy z niezależności (to jest właściwie wzór na rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych)

\(\displaystyle{ P(X-Y = t) = \sum_{l=-\infty}^{\infty} P(X = l)P(-Y = t - l) = \sum_{l=-\infty}^{\infty} P(X = l)P(Y = l-t)}\).

Większość składników tej sumy to \(\displaystyle{ 0}\). Polecam popatrzeć co się dzieje dla konkretnych wartości \(\displaystyle{ t}\) a potem uogólnić.