Matematyka.pl

1.W \(\displaystyle{ 10}\) sekund po wybuchu wulkanu na Ziemi, zaobserwowano protuberancję na Słońcu.
a) Czy może istnieć związek przyczynowy między tymi zdarzeniami?
b) Czy istnieje układ odniesienia, w którym wybuch wulkanu nastąpiłby w tej samej chwili co protuberancja?

2. Czy czterowektor prędkości cząstki masywnej, może posiadać jedynie nieznikającą, przestrzenną składową?

3. Czy czterowektor pędu cząstki pozbawionej masy (foton) może posiadać jedną nieznikającą skłądową?

Bardzo proszę o pomoc.

Z góry dziękuję.

1.
a) Związek przyczynowy między dwoma zdarzeniami może istnieć wtedy, gdy zdarzenie późniejsze znajduje się wewnątrz stożka przyszłości zdarzenia wcześniejszego. Jest to równoważne stwierdzeniu, że interwał czasoprzestrzenny w konwencji \(\displaystyle{ (+,-,-,-)}\) jest dodatni (czasowy): \(\displaystyle{ (c\Delta t)^2-(\Delta x)^2>0}\). Pomijając pierdółki związane z tym w jakim układzie odniesienia wszystko jest mierzone: \(\displaystyle{ \Delta t=10s, \Delta x=150 mln \ km}\).
b) Interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza, zatem jeśli jest dodatni w układzie odniesienia z punktu a) to musi być dodatni w układzie odniesienia którego szukamy. W układzie tym mielibyśmy \(\displaystyle{ \Delta t'=0}\), zatem z interwału dostalibyśmy \(\displaystyle{ 0-(\Delta x')^2>0}\) co przy rzeczywistych współrzędnych przestrzennych daje nam sprzeczność, zatem układ taki nie istnieje. Jeśli interwał jest dodatni, czego nie wiem bo mi się liczyć nie chciało.

2. Czterowektor prędkości ma postać \(\displaystyle{ u^\mu=(\gamma c,\gamma\vec{v})}\). Składowa czasowa jest zawsze niezerowa, zatem nie ma możliwości, by tylko składowa przestrzenna była niezerowa.

3. Nie może. Czasowa składowa czteropędu to (z dokładnością do stałej) energia cząstki, a ta jest zawsze niezerowa. Pęd cząstki o zerowej masie jest także zawsze niezerowy, zatem czteropęd cząstki bezmasowej ma zawsze co najmniej dwie nieznikające składowe.

Serdecznie dziękuję!
Mam jeszcze jeden ostatni problem z jednym zadaniem.

W tym samym miejscu korony słonecznej w odstępie \(\displaystyle{ 12 s}\) nastąpiły dwa wybuchy. Rakieta poruszająca się ze stałą prędkością względem Słońca zarejestrowała te wybuchy w odstępie \(\displaystyle{ 13 s}\).
Jaka jest długość interwału rozdzielającego te dwa zdarzenia dla obserwatora w rakiecie, a jaka dla obserwatora na Ziemi?

"W tym samym miejscu korony słonecznej", czyli w układzie odniesienia obserwatora na Ziemi \(\displaystyle{ \Delta x=0}\) oraz dodatkowo \(\displaystyle{ \Delta t=12s}\). Interwał jest dany wzorem \(\displaystyle{ (\Delta s)^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2}\). Tak jak pisałem w poprzednim poście, interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza, zatem jego wartość będzie taka sama dla obserwatora w rakiecie. Te \(\displaystyle{ 13s}\) to dla picu podane Przydałyby się gdybyśmy musieli obliczyć odległość między tymi wybuchami mierzoną w układzie rakiety \(\displaystyle{ \Delta x'}\).

a) Związek przyczynowy między dwoma zdarzeniami może istnieć wtedy, gdy zdarzenie późniejsze znajduje się wewnątrz stożka przyszłości zdarzenia wcześniejszego. Jest to równoważne stwierdzeniu, że interwał czasoprzestrzenny w konwencji \(\displaystyle{ (+,-,-,-)}\) jest dodatni (czasowy): \(\displaystyle{ (c\Delta t)^2-(\Delta x)^2>0}\). Pomijając pierdółki związane z tym w jakim układzie odniesienia wszystko jest mierzone: \(\displaystyle{ \Delta t=10s, \Delta x=150 mln \ km}\).
b) Interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza, zatem jeśli jest dodatni w układzie odniesienia z punktu a) to musi być dodatni w układzie odniesienia którego szukamy. W układzie tym mielibyśmy \(\displaystyle{ \Delta t'=0}\), zatem z interwału dostalibyśmy \(\displaystyle{ 0-(\Delta x')^2>0}\) co przy rzeczywistych współrzędnych przestrzennych daje nam sprzeczność, zatem układ taki nie istnieje. Jeśli interwał jest dodatni, czego nie wiem bo mi się liczyć nie chciało.

Pozwolę się nie zgodzić z powyższą odpowiedzią. Przecież, jeśli informacja o zdarzeniu na Słońcu dotarła do Ziemi po wybuchu wulkanu, to bez żadnego liczenia widać, że interwał jest ujemny (przestrzenny), więc nie może istnieć związek przyczynowy między tymi zdarzeniami. A to z kolei oznacza, że może istnieć układ, dla którego te zdarzenia zaszły równocześnie.

pawel077 pisze: 18 cze 2022, o 09:08 Pozwolę się nie zgodzić z powyższą odpowiedzią.

Powyższa odpowiedź nie była odpowiedzią lecz podpowiedzią, którą autor musiał sobie dostosować do treści zadania. Napisałem też:

(...)zatem układ taki nie istnieje. Jeśli interwał jest dodatni, czego nie wiem bo mi się liczyć nie chciało.

Więc to co napisałeś jest jak najbardziej zgodne z tym co ja napisałem Ale faktycznie, rachunek nie jest jakiś wybitnie długi i widać, że interwał jest ujemny.