Równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
paweto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 7 sie 2015, o 22:36
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe

Post autor: paweto » 24 cze 2018, o 12:17

\(\frac{x}{ \mbox{d}x } = Ax, A = \left[ \begin{array}{cc}0 & 1\\ -1 & 0\end{array}\right]\)

Mógłby mi ktoś napisać jak się zabrać za to zadanie? Wiem, że jest to układ równań różniczkowych zapisany w postaci macierzowej ale nie mam pojęcia jak to mam rozpisać. Pomoże ktoś?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: kerajs » 24 cze 2018, o 12:26

\(\begin{cases} x_1'=x_2 \\ x_2'=-x_1 \end{cases}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Janusz Tracz » 24 cze 2018, o 12:28

Po stronie lewej jest wektor pochodnych zapisany w dziwny niepoprawny sposób który można przedstawić jako \(\left[ y',x'\right]\) a po stronie prawej masz iloczyn macierzy i wektora szukanych funkcji powiedzmy \(\left[ y,x\right]\). Można to zapisać jako układ równań, po wykonaniu mnożenia mamy:

\(\begin{cases} y'=x \\ x'=-y \end{cases}\)

gdzie \(x,y\) to funkcje zmiennej \(t\). Po zróżniczkowaniu pierwszego równania i wstawianiu do drugiego mamy

\(y''=-y\)

co daje się rozwiązać standardowymi metodami dla równań drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami

\(y=C_1\sin t+C_2\cos t\)

a ponieważ \(x=y'\) to

\(x=\left(C_1\sin t+C_2\cos t \right)'\)

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1098
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Benny01 » 24 cze 2018, o 12:37

Macierz \(A\) mamy w postaci Jordana.
Rozwiązaniem układu jest \(x=e^{At} \cdot c \Rightarrow x= \begin{bmatrix} \cos t & \sin t \\- \sin t& \cos t \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c_1\\c_2\end{bmatrix}\)
\(x_1=c_1 \cdot \cos t +c_2 \cdot \sin t\)

\(x_2=-c_1 \cdot \sin t + c_2 \cdot \cos t\)

paweto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 7 sie 2015, o 22:36
Płeć: Mężczyzna

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: paweto » 24 cze 2018, o 13:02

Czyli po lewej i prawej stronie mam wektory, tak?
Po lewej stronie: \(x'\) - wektor
Po prawej stronie: \(A\) - macierz, \(x\) - wektor

Wektor po lewej stronie zapisuję sobie najlepiej jako \([ x'_{1}, x'_{2} ]\), a wektor po prawej jako: \([ x_{1}, x_{2} ]\) i rozwiązuję tymi metodami dla równań drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami, tak? A gdy mam coś takiego tylko z macierzą \(_{3x3}\) to robię analogicznie do tego powyżej?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Janusz Tracz » 24 cze 2018, o 13:10

Czyli po lewej i prawej stronie mam wektory, tak?
Po lewej stronie: \(x'\) - wektor
Po prawej stronie: \(A\) - macierz, \(x\) - wektor
Tak. Możesz zapisać \(x_1,x_2,x_3\) albo \(x,y,z\) to nie ma znaczenia. Co do samych metod rozwiązywania to jest ich sporo ja wybrałem metodę która sprowadziła układ równań pierwszego stopnia do równania stopnia drugiego, Benny01 wybrał inną metodę a można było jeszcze inaczej za pomocą transformaty Laplace’a. Jeśli masz układ \(3 \times 3\) to też można stosować takie metody.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: kerajs » 24 cze 2018, o 14:39

paweto pisze:Czyli po lewej i prawej stronie mam wektory, tak?
Po lewej stronie: \(x'\) - wektor
Po prawej stronie: \(A\) - macierz, \(x\) - wektor
Tak, masz macierz niewiadomych (po prawej) i macierz pochodnych po tych niewiadomych (po lewej stronie)
paweto pisze: Wektor po lewej stronie zapisuję sobie najlepiej jako \([ x'_{1}, x'_{2} ]\), a wektor po prawej jako: \([ x_{1}, x_{2} ]\)
Raczej:
\(\begin{bmatrix} x_1'\\x_2'\end{bmatrix} \ \ lub \ \ \begin{bmatrix} \frac{ \mbox{d}x_1 }{ \mbox{d}x } \\ \frac{ \mbox{d}x_2 }{ \mbox{d}x}\end{bmatrix} \ \ oraz \ \ \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix}\)
Zauważ że, o ile nie pomyliłeś się przy przepisywaniu, to \(x_1=f(x) \wedge x_2=g(x)\)
paweto pisze: i rozwiązuję tymi metodami dla równań drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami, tak?
Stosujesz metodę którą narzuca treść zadania lub rozwiązujesz dowolną znaną Ci metodą.
paweto pisze: A gdy mam coś takiego tylko z macierzą \(_{3x3}\) to robię analogicznie do tego powyżej?
Tak.-- 24 cze 2018, o 15:34 --Ech, przegapiłem odpowiedź Janusza Tracza. Sorry.

ODPOWIEDZ