Oblicz admitancję podanego układu

[uczen23]

Układ:

Ukryta treść:    

Kod: Zaznacz cały

https://image.ibb.co/gVTaVT/Przechwytywanie.png

Reaktancja cewki \(\displaystyle{ X_L=j\omega L}\)
Reaktancja kondensatora \(\displaystyle{ X_C=-j \frac{1}{\omega C}}\)
Obliczam impedancję zastępczą dla układu równoległego:
\(\displaystyle{ Z_{LC}= \frac{-j \frac{1}{\omega C} \cdot j\omega L }{j\omega L - j \frac{1}{\omega C} }= \frac{ \frac{\omega L}{\omega C} }{j\omega L-j \frac{1}{\omega C} }
= \frac{L}{j\omega LC-j \frac{1}{\omega } }}\)


Czyli impedancja zastępcza tego ukladu to:

\(\displaystyle{ Z=R+\frac{L}{j\omega LC-j \frac{1}{\omega } }}\)


Admitancja \(\displaystyle{ Y= \frac{1}{Z}= \frac{1}{R}+ \frac{j\omega LC -j \frac{1}{\omega} }{L}
=G+ \frac{j\omega LC}{L}-j \frac{ \frac{1}{\omega } }{L}=G+j(\omega C- \frac{1}{\omega L} )}\)

gdzie \(\displaystyle{ G= \frac{1}{R}}\)


dobrze?

[mdd]

Reaktancja cewki \(\displaystyle{ X_L=j\omega L}\)
Reaktancja kondensatora \(\displaystyle{ X_C=-j \frac{1}{\omega C}}\)

Ja bym napisał, że to są impedancje (nie reaktancje) zespolone elementów odpowiednio \(\displaystyle{ L, C}\) (czyli idealnej cewki i kondensatora).

Obliczam impedancję zastępczą dla układu równoległego:
\(\displaystyle{ Z_{LC}= \frac{-j \frac{1}{\omega C} \cdot j\omega L }{j\omega L - j \frac{1}{\omega C} }= \frac{ \frac{\omega L}{\omega C} }{j\omega L-j \frac{1}{\omega C} }
= \frac{L}{j\omega LC-j \frac{1}{\omega } }}\)

Czyli impedancja zastępcza tego ukladu to:

\(\displaystyle{ Z=R+\frac{L}{j\omega LC-j \frac{1}{\omega } }}\)

Ok, ale brzydki wynik końcowy. Nie można tego uporządkować?

Admitancja \(\displaystyle{ Y= \frac{1}{Z}= \frac{1}{R}+ \frac{j\omega LC -j \frac{1}{\omega} }{L}}\)

No nie bardzo.
W ogólności:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} \neq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)

[uczen23]

Czyli to będzie aż tak brzydki wynik? czy coś źle liczę?

\(\displaystyle{ Z= \frac{j\omega LCR-j \frac{R}{\omega } +L}{j\omega LC-j \frac{1}{\omega }}}\)

Czyli \(\displaystyle{ Y= \frac{j\omega LC-j \frac{1}{\omega }}{j\omega LCR-j \frac{R}{\omega } +L}}\)

[mdd]

\(\displaystyle{ Z= \frac{j\omega LCR-j \frac{R}{\omega } +L}{j\omega LC-j \frac{1}{\omega }}}\)

Samą impedancję można zapisać bardzo ładnie:

\(\displaystyle{ R+j\frac{\omega L}{1-\omega^{2}LC}}\)

Admitancję też można zapisać w postaci \(\displaystyle{ a+jb}\).