Równanie diofantyczne

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Świeżak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 2 paź 2007, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sulechów
Podziękował: 3 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: Świeżak » 2 paź 2007, o 19:30

treść zadania to:
Wyznacz pary wszystkich liczb całkowitych x i y spełniających równanie
a) xy - y + x + 1 = 0


Pomimo wielokrotnych prób nie potrafię tego rozwiązać. Proszę o pomoc
Ostatnio zmieniony 2 paź 2007, o 19:56 przez Świeżak, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

exupery
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 518
Rejestracja: 21 lut 2007, o 17:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kluczewsko
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 67 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: exupery » 2 paź 2007, o 19:54

\(\displaystyle{ xy-y+x=-1}\)
\(\displaystyle{ y(x-1) +x=-1}\)
\(\displaystyle{ y(x-1)=-1-x}\)
\(\displaystyle{ y=}\)\(\displaystyle{ \frac{-1-x}{x-1}}\) i \(\displaystyle{ x 1}\)
podobnie można postąpić dla wyznaczenia x

Atraktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 670
Rejestracja: 2 paź 2007, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grodzisko/Wrocław
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 37 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: Atraktor » 2 paź 2007, o 19:57

moze w taki sposob
przejdzmy najpier do postaci ogolnej f.homograficznej
\(\displaystyle{ x=\frac{y-1}{y+1} \ a \ nastepnie \ do \ kanonicznej \\ x=\frac{-2}{y+1} +1}\)
teraz o wiele latwiej widac co podstaiwc nalezy zeby wyszly liczby calkowite

mizera03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 2 paź 2007, o 14:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bialystok
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 18 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: mizera03 » 2 paź 2007, o 19:58

xy - y + x + 1 = 0 przekształcamy to trochę i mamy..
xy - y = -x - 1
y(x - 1) = -x - 1 dzielimy obustronnie przez (x - 1) zakładając ze x jest różne od 1!!! i mamy

\(\displaystyle{ y = \frac{-x - 1}{x -1}}\) stworzyliśmy funkcję w której możemy wyliczyć pary liczb spełniające początkowe równanie pamiętając o tym że x nie równa się 1!!! teraz sprawdzamy jak
x = 1 mamy
y - y + 1 +1 = 0 czyli
2 = 0 sprzeczność!! czyli x nie może równać się 1, a dla pozostałych x możemy dobrać y podstawiając do funkcji wyliczonej wyżej

Atraktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 670
Rejestracja: 2 paź 2007, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grodzisko/Wrocław
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 37 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: Atraktor » 2 paź 2007, o 19:58

exupery , ale jak z tego wyznaczysz pary liczb?

Świeżak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 2 paź 2007, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sulechów
Podziękował: 3 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: Świeżak » 2 paź 2007, o 20:42

no właśnie jak z tego wyznaczyć te pary liczb to ja nadal nie wiem był bym nad wymiar wdzięczny jeśli ktoś jest mi to w stanie wytłumaczyć gdyż został mi jeszcze jeden przykład do zrobienia który zamierzam wykonać na uzyskanej przy tym rozwiązaniu wiedzy

Atraktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 670
Rejestracja: 2 paź 2007, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grodzisko/Wrocław
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 37 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: Atraktor » 2 paź 2007, o 20:48

tutaj po prostu musisz podstawiac.inaczej chyba sie nie uda.czyli wez te moje rownanie i wylicz to metoda prob i bledow.ja przynjameij inego sposbu nie znam;p

Świeżak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 2 paź 2007, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sulechów
Podziękował: 3 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: Świeżak » 2 paź 2007, o 21:15

co?? wszystkich liczb całkowitych i ja mam to podstawiać metoda prób i błędów?? to nie możliwe musi być na to jakiś sposób

exupery
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 518
Rejestracja: 21 lut 2007, o 17:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kluczewsko
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 67 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: exupery » 2 paź 2007, o 21:19

za x podstawiasz wybraną liczbę i liczysz y
np. za x podstawiasz 2 i liczysz ze \(\displaystyle{ y=-3}\)spr. \(\displaystyle{ 2*(-3)-(-3)+2+1=0}\) o to mi chodziło

Atraktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 670
Rejestracja: 2 paź 2007, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grodzisko/Wrocław
Podziękował: 98 razy
Pomógł: 37 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: Atraktor » 2 paź 2007, o 21:22

Świeżak, tutaj bedziesz mial moze dwie lub trzy pary liczb a wiec co za problem?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: Lorek » 2 paź 2007, o 21:32

\(\displaystyle{ x=\frac{-2}{y+1}+1}\)
czyli x jest całkowite, gdy \(\displaystyle{ \frac{-2}{y+1}}\) jest całkowite \(\displaystyle{ \iff (y+1)|(-2)}\) i juz mamy możliwe rozwiązania.

Świeżak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 2 paź 2007, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sulechów
Podziękował: 3 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: Świeżak » 2 paź 2007, o 21:50

dziękuje wam uprzejmie za okazana pomoc i przepraszam zarazem za mą głupotę ale z matmy zawsze byłem "noga" i teraz muszę to bardzo szybko naprawić

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Równanie diofantyczne

Post autor: Piotr Rutkowski » 2 paź 2007, o 23:37

A taki jeszcze inny elementarny sposób to:
\(\displaystyle{ xy - y + x + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(y+1)=2}\)

ODPOWIEDZ