tw sinusów/tw.cosinusów

[piwne_oko]

długości boków trójkąta, którego jeden z kątów ma miarę 120, tworzą trzy kolejne wyrazu ciągu arytmetycznego. W jakim stosunku pozostają długości boków tego trójkąta?

[ariadna]

Oznaczmy boki:
a-r, a, a+r
r>0
a>0
Najdłuższy z nich to a+r, więc:
\(\displaystyle{ (a+r)^{2}=a^{2}+(a-r)^{2}-2a(a-r)\cdot{cos120^{\circ}}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+2ar+r^{2}=a^{2}+a^{2}-2ar+r^{2}+a^{2}-ar}\)
\(\displaystyle{ 5ar=2a^{2}}\)
\(\displaystyle{ 5r=2a}\)
\(\displaystyle{ r=0,4a}\)

Czyli boki:
0,6a
a
1,4a
Stosunek:
3:5:7