Transformata Laplace'a

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
ziomek1906
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 18 cze 2018, o 21:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żuromin

Transformata Laplace'a

Post autor: ziomek1906 » 18 cze 2018, o 22:22

Cześć, proszę o pomoc w rozwiązaniu układu równania rózniczkowego stosując transformację Laplace'a przy warunkach początkowych: \(y(0)=1, z(0)=1\)

\(y'+5y+2z=0, \\ z'-y+7z=0\)

\(\begin{cases} L(y')+5L(y)+2L(z)=L(0) \\ L(z')-L(y)+7L(z)=L(0) \end{cases}\)

\(\begin{cases} L[y']=sL(y)-y(0)=sL(y)-1 \\ L[z']=sL(z)-z(0)=sL(z)-1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} sL(y)-1+5L(y)+2L(z)=0 \\ sL(z)-1-L(y)+7L(z)=0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (s+5)L(y)+2L(z)=1 \\ -L(y)+(s+7)L(z)=1 \end{cases}\)


\(W=\)\(\begin{vmatrix} (s+5)&2\\-1&(s+7)\end{vmatrix}\) \(=s ^{2}+12s+37\)

\(W_{L(y)} =\)\(\begin{vmatrix} 1&2\\1&(s+7)\end{vmatrix}\) \(=s+5\)

\(W_{L(z)} =\)\(\begin{vmatrix} (s+5)&1\\-1&1\end{vmatrix}\) \(=s+6\)


\(L(y)= \frac{s+5}{s ^{2}+12s+37}\)

\(L(z)= \frac{s+6}{s ^{2}+12s+37}\)

Z tablic nic mi nie wychodzi, a z odpowiedzi wynika, że powinien wyjść następujący wynik:
\(y=e ^{-6t}\cos t \\ z=e ^{-6t}(\cos t-\sin t)\)

Będę bardzo wdzięczny za wszelką pomoc i odpowiednie nakierowanie na wyższe odpowiedzi! :)
Ostatnio zmieniony 18 cze 2018, o 23:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1098
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina

Transformata Laplace'a

Post autor: Benny01 » 18 cze 2018, o 22:38

Chyba zamieniłeś odpowiedzi, bo:

\(L\left( y\right) =\frac{s+5}{s^2+12s+37}=\frac{s+6}{\left( s+6\right)^2+1}-\frac{1}{\left( s+6\right)^2+1}\)
\(y=e^{-6t} \cos t - e^{-6t} \sin t\)

W drugiej transformacji masz tylko pierwszy czynnik.

ODPOWIEDZ