Matematyka.pl

Izrael 1995
Niech \(\displaystyle{ PQ}\) będzie średnicą półokręgu \(\displaystyle{ h}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) jest wewnętrznie styczny do \(\displaystyle{ h}\) i styczny do średnicy \(\displaystyle{ PQ}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Niech \(\displaystyle{ A\in h\wedge B\in PQ}\) będą takimi punktami, że \(\displaystyle{ AB\perp PQ}\) oraz odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ o}\). Wykaż, że półprosta \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) jest dwusieczną \(\displaystyle{ \angle PAB}\).

Coś jest nie tak z treścią, to można tak narysować, że półprosta \(\displaystyle{ AC}\) nawet nie leży wewnątrz kąta \(\displaystyle{ PAB}\)

Rzeczywiście. Zakładamy, że punkt \(\displaystyle{ C}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ BP}\).

Let \(\displaystyle{ PQ}\) be the diameter of semicircle \(\displaystyle{ H}\). Circle \(\displaystyle{ O}\) is internally tangent to \(\displaystyle{ H}\) and tangent to \(\displaystyle{ PQ}\) at \(\displaystyle{ C}\). Let \(\displaystyle{ A}\) be a point on \(\displaystyle{ H}\) and \(\displaystyle{ B}\) a point on \(\displaystyle{ PQ}\) such that \(\displaystyle{ AB \perp PQ}\) and is tangent to \(\displaystyle{ O}\). Prove that \(\displaystyle{ AC}\) bisects \(\displaystyle{ \angle PAB}\).

WolfusA nie popełnił błędu przy tłumaczeniu, więc temat zadania nie jest dobrze zredagowany. Ale poniższy już jest:

Niech \(\displaystyle{ PQ}\) będzie średnicą półokręgu \(\displaystyle{ h}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) jest wewnętrznie styczny do \(\displaystyle{ h}\) i styczny do średnicy \(\displaystyle{ PQ}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Niech \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dg}{0 0.5 0}A\in h\wedge B\in\!{\dg{\textit{\textbf{C}}}}\hspace{1pt}Q}\) będą takimi punktami, że \(\displaystyle{ AB\perp PQ}\) oraz odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ o}\). Wykaż, że półprosta \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) jest dwusieczną \(\displaystyle{ \angle PAB}\).

Jestem wdzięczny za dociekliwość. Moim pomysłem na dowód jest:

Ukryta treść:

Punkt styczności \(\displaystyle{ {\red{o}}}\) z \(\displaystyle{ {\red{AB}}}\) to \(\displaystyle{ {\red{A}}}\), punkt styczności \(\displaystyle{ o}\) z \(\displaystyle{ PQ}\) to \(\displaystyle{ C}\) i punkty te wraz punktem \(\displaystyle{ Q}\) nie są współliniowe.

Edit: 2018-06-20 00:20

Źle sobie oznaczyłem punkty. Oczywiście \(\displaystyle{ A\not\in o}\), co podkreślił Kruszewski.

Poprawka:

Punkt \(\displaystyle{ A}\) przynależy do \(\displaystyle{ h}\) co wyraźnie zapisane jest w treści zadania ale nie przynależy do \(\displaystyle{ o}\) bo przeczyłoby to jednoczesnej styczności z \(\displaystyle{ AB\perp PQ}\)

Z wzajemnej prostopadłości odpowiednich ramion kątów
\(\displaystyle{ \angle AQP, \ \angle PAB}\)
Rysynek z błędnym opisem zauważonym przez Kolegę WolfusA usunąłem bo wymaga przemeblowania.
Przepraszam.
W.Kr.

Poprawiony rysunek poniżej.

Zauważmy, że proste do której przynależą odcinki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ QD}\) są symetralnymi czworokątów
\(\displaystyle{ CQAD}\) i \(\displaystyle{ CH'AH}\) która są rombami. Stąd po położeniu połowy rombu
\(\displaystyle{ CH'AH}\)
przez obrót wokoło jednej lub drugiej osi symetrii na drugą płowę zauważamy równość kątów \(\displaystyle{ \angle \beta = \angle \gamma}\)
co prowadzi do wniosku, że prosta dana punktami \(\displaystyle{ A \ i \ C}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle BAP}\) cbdo.

Skoro prosta \(\displaystyle{ AQ}\) nie jest styczna do \(\displaystyle{ o}\), zaś prosta \(\displaystyle{ PQ}\) jest styczna, to jakim cudem punkt \(\displaystyle{ S_o}\) leży na dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ AQP}\)?

Ukryta treść:

Matematyka.pl

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy