Wzory skróconego mnożenia- ale odwrotnie z pierwiastkami

[winiary91]

Witam,
Dostałem się do LO i nic nie rozumiem na lekcjach matmy... Mamy teraz coś takigo:
Np.:
\(\displaystyle{ \sqrt{17+12\sqrt{2}}\)
i ot rozbijamy na
\(\displaystyle{ \sqrt{9+12\sqrt{2}+8}}\) =
\(\displaystyle{ \sqrt{(3+2\sqrt{2})}^2}\) =
\(\displaystyle{ 3+2\sqrt{2}}\)

Dlaczego tak wychodzi to wiem, ale czy mógłby mi ktoś wreszcie wytłumaczyć, dlaczego rozbijam 17 akurat na 9+8. Ogólnie jest to odwrotnośc wzorów skróconego mnożenia. Nie wiem, jak szybko dojść, jakie to będą liczby ( w tym wypadku \(\displaystyle{ \sqrt{(3+2\sqrt{2})}^2}\) ) , na jakie rozbić itp. Czy jest na to jakiś sposób? Błagam o pomoc!

________________
":/" - ozdobnik?!
bolo

[Lorek]

Mamy wyrażenie \(\displaystyle{ 17+12\sqrt{2}}\), czyli spodziewamy się, że będzie ono równe wyrażeniu \(\displaystyle{ (a+b\sqrt{2})^2,\; a,b\in\mathbb{Z}}\), więc przyrównujemy
\(\displaystyle{ 17+12\sqrt{2}=(a+b\sqrt{2})^2\\17+12\sqrt{2}=a^2+2ab\sqrt{2}+2b^2}\)
a skoro a,b - całkowite (w ostateczności mogłyby być wymierne), to mamy układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2+2b^2=17\\2ab=12\end{cases}}\)
i tak znajdziesz a,b (oczywiście intersują nas tylko rozw. całkowite).
I podobnie dla innych wyrażeń.