Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
dron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 11 cze 2018, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 20m^2

Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Post autor: dron » 16 cze 2018, o 19:55

Proszę o sprawdzenie i odpowiedź na pytanie czy stała C może być poprzedzona znakiem ujemnym tak jak jest to wykonane poniżej.

\(\displaystyle{ y'-(x-\cos x)y=0}\) , przy warunku \(\displaystyle{ y(0)=1}\)
\(\displaystyle{ P(x)= -(x-\cos x)\\ P(x)= -x+\cos x\\ \int_{}^{}P(x)dx=\int_{}^{}(-x+\cos x)dx= - \frac{1}{2} \cdot x^2 + \sin x + C\\ -\int_{}^{}P(x)dx= \frac{1}{2} \cdot x^2 - \sin x - C\\ y=C \cdot e^{(-\int_{}^{}P(x)dx)}\\ y=C \cdot e^{( \frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x)}\\ 1=C \cdot e^{(\frac{1}{2} \cdot 0^2-\sin 0)}\\ C=1\\ y=1 \cdot e^{(\frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x)}}\)
Ostatnio zmieniony 16 cze 2018, o 20:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Post autor: kerajs » 16 cze 2018, o 20:08

dron pisze: \(\displaystyle{ P(x)= -x+\cos x\\ \int_{}^{}P(x)dx=\int_{}^{}(-x+\cos x)dx= - \frac{1}{2} \cdot x^2 + \sin x + C\\ -\int_{}^{}P(x)dx= \frac{1}{2} \cdot x^2 - \sin x - C\\ y=C \cdot e^{(-\int_{}^{}P(x)dx)}}\)
Raczej:
\(\displaystyle{ y=e ^{ \frac{1}{2} \cdot x^2 - \sin x - C} \\ 1=e^{-C}\\ C=0}\)
Ostatnio zmieniony 16 cze 2018, o 20:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

dron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 11 cze 2018, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 20m^2

Re: Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Post autor: dron » 16 cze 2018, o 20:41

Dlaczego więc prowadzący wykonywał to w taki sposób?

\(\displaystyle{ y'-4x^3y=0}\), przy warunku \(\displaystyle{ y(0)=2}\)
\(\displaystyle{ P(x)=-4x^3\\ y=C \cdot e^{( \int_{}^{} 4x^3dx)} \\ y=C \cdot e^{x}^{4}\\ 2= C \cdot e^{ x^{4} }\\ 2=C\\ y=2 \cdot e^{x^4}}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Post autor: kerajs » 16 cze 2018, o 20:51

Sorry, niepotrzebnie poprawiałem. Tak naprawdę to oba rozwiązania są poprawne.


\(\displaystyle{ y=e^{ \frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x-C}}\)

1)
moja wersja:
\(\displaystyle{ 1=e^{ \frac{1}{2} \cdot 0^2-\sin 0-C}\\ 1=e ^{-C}\\ C=0}\)
stąd:
\(\displaystyle{ y=e^{ \frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x}}\)

2)
Twoja wersja:
\(\displaystyle{ y= e^{( \frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x)}e^{-C} \wedge K=e^{-C}\\ y= Ke^{( \frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x)}\\ 1=K \cdot e^{(\frac{1}{2} \cdot 0^2-\sin 0)}\\ K=1\\ y= e^{(\frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x)}}\)

ODPOWIEDZ