Równanie różniczkowe - metoda charakterystyk

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Otwieracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 6 maja 2012, o 11:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa

Równanie różniczkowe - metoda charakterystyk

Post autor: Otwieracz » 16 cze 2018, o 16:47

Cześć,
mam problem ze zrozumiem rozwiązania zadania: Metoda charakterystyk rozwiąż równanie różniczkowe:
\(\frac{ \partial ^{2} u }{ \partial x ^{2} }-2 \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y}=0\), dla \((x,y) \in D=\RR ^{2}\)
\(\begin{cases} u(0,y)=0\\ \frac{ \partial u}{ \partial x}(0,y)=4y \end{cases}\), dla \(y \in \RR\)

1. Wyznaczam deltę \(= 0\) - typ paraboliczny
2. Podstawiam współczynniki do wzoru \(A(x,y)(dy) ^{2}-B(x,y)dydx+C(x,y)dx ^{2}=0\), wynikiem jest \(dy=dx\)
3. \(\int dy=\int dx\)
\(y=x+C\)
\(\begin{cases} C=y-x\\ D=x\end{cases}\) - za drugie rozwiązanie przyjmuję \(x\)
4. Przyjmuję przekształcenie
\(\xi (x,y)=y-x\)
\(\eta (x,y)=x\)
5. Liczę pochodne cząstkowe.
\(\frac{ \partial \xi}{ \partial x}=-1 , \frac{ \partial \eta}{ \partial x}=1 , \frac{ \partial \xi}{ \partial y}=1 , \frac{ \partial \eta}{ \partial y}= 0\)
Pochodne drugiego rzędy \(= 0\).
6. Podstawiam do wzorów i liczę:
\(\frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x ^{2} } , \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y } , \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial y ^{2} }\)
i podstawiam do równania:
\(\frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x ^{2} }-2 \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y}=0\)
wynikiem jest: \(\frac{ \partial ^{2}\hat{u} }{ \partial \eta^{2} }=0\)
7. Dalej mam doprowadzić do rozwiązania ogólnego
\(\int \frac{ \partial }{ \partial \eta} \frac{ \partial \hat{u}}{ \partial \eta} \partial \eta=\int0d \eta\)
i skąd dalej bierze się: (dlaczego wynikiem jest \(F\) i \(G\)? i dlaczego wynikiem drugiej całki jest ich suma?
\(\int \frac{ \partial \hat{u}}{ \partial \eta} \partial \eta=\int F(\xi) \partial \eta\)
\(\hat{u}=F(\xi)+G(\eta)\)??
Ostatnio zmieniony 17 cze 2018, o 23:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe - metoda charakterystyk

Post autor: squared » 16 cze 2018, o 19:20

Moim zdaniem wynik jest inny.

Masz:
\(\frac{\partial}{\partial \eta}\frac{ \partial\hat{u}(\eta,\xi) }{ \partial \eta }=0.\)
Całkuję najpierw jednostronnie po \(\eta\). Co istotne, \(\xi\) jest w tym momencie stałą. Mam zatem:
\(\frac{ \partial\hat{u}(\eta,\xi) }{ \partial \eta} =F(\xi).\)
I jest to prawda, bowiem rózniczkując obustronnie po \(\eta\) mamy po prawej stronie zero, gdyż \(F(\xi)\) nie zależmy od \(\eta\) zatem pochodna po \(\eta\) to zero.

I znów różniczkujemy po \(\eta\).
\(\int \frac{ \partial\hat{u}(\eta,\xi) }{ \partial \eta} \ \mbox{d}\eta=\int F(\xi) \ \mbox{d}\eta.\)
Znów \(F(\xi)\) to stała, gdyż całkujemy po \(\eta\).
\(\hat{u}(\eta,\xi) = F(\xi) \eta + G(\xi)\)
Funkcja ta spełnia wejściowe równanie różniczkowe. Dwukrotnie różniczkując po \(\eta\) otrzymujemy zero.

Otwieracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 6 maja 2012, o 11:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa

Równanie różniczkowe - metoda charakterystyk

Post autor: Otwieracz » 16 cze 2018, o 21:15

Dziękuję.
Następnie mam:
\(u(x,y)=\hat{u}(y-x,x)\)
\(u=F(y-x)+G(x)\)
To rozwiązanie ogólne.
uwzględniając W.B., następnym krokiem jest policzenie pochodnej równania ogólnego, które ma postać
\(u=F(y-x)+G(x)\)
\(\frac{ \partial u}{ \partial y} =F(y-x)+F'(y-x)+G(x)=0\) dlaczego? to jest następnie podstawione do W.B.

squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe - metoda charakterystyk

Post autor: squared » 17 cze 2018, o 11:45

Nie podstawiasz przypadkiem źle \(\eta, \xi\)?

Otwieracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 6 maja 2012, o 11:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa

Równanie różniczkowe - metoda charakterystyk

Post autor: Otwieracz » 17 cze 2018, o 12:14

Możliwe... Tak mam rozwiązane, ale od tego momentu nie wiem co z czego wynika. Wiem już natomiast, że to co napisałeś w poście wyżej, jest poprawnie. Jak powinno być poprawnie?

squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe - metoda charakterystyk

Post autor: squared » 17 cze 2018, o 21:10

Na pewno do 6 punktu masz dobrze, bo nie sprowadzałem?

Otwieracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 6 maja 2012, o 11:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa

Równanie różniczkowe - metoda charakterystyk

Post autor: Otwieracz » 17 cze 2018, o 21:13

Tak

ODPOWIEDZ