Niech pi będzie płaszczyzną, która zawiera prostą l...

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
iyhun

Niech pi będzie płaszczyzną, która zawiera prostą l...

Post autor: iyhun » 14 cze 2018, o 22:14

Niech \(\displaystyle{ \pi}\) będzie płaszczyzną, która zawiera prostą \(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}}\) i jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ k: \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}}\) . Wyznaczyć rzut prostej \(\displaystyle{ k}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\)

Prosiłbym o kroki w rozwiązaniu tego zadania oraz jeżeli jest możliwość to "obrazowe" wyjaśnienie tego zadania.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Niech pi będzie płaszczyzną, która zawiera prostą l...

Post autor: kerajs » 15 cze 2018, o 07:13

Prosta \(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}}\) ma wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{l}= \left[ 1,2,-1\right]}\) i jest zaczepiona w punkcie \(\displaystyle{ L=(1,1,0)}\)
Prosta \(\displaystyle{ k: \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}}\) ma wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{k}= \left[ 1,2,1\right]}\) i jest zaczepiona w punkcie \(\displaystyle{ K=(0,0,1)}\) .

Można tak:
1.
Oblicz równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) rozpiętej na wektorach k,l i zaczepionej w punkcie L.
Odp: \(\displaystyle{ 4x-2y-2=0}\)
2.
Napisz równanie prostej p, prostopadłej do płaszczyzny i przechodzącej przez punkt K
Odp: \(\displaystyle{ p: \ \frac{x}{4}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{0}}\)
3.
Oblicz współrzędne punktu przebicia płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) przez prostą p.
Odp: \(\displaystyle{ K'=( \frac{4}{10}, \frac{-2}{10},1)}\)
4.
Napisz równanie rzutu prostej k na płaszczyznę. Rzut k' do niej równoległy do k i zawiera punkt K'.
Odp: \(\displaystyle{ k': \ \ \frac{x-\frac{4}{10}}{1}=\frac{y+\frac{2}{10}}{2}=\frac{z-1}{1}}\)

iyhun

Niech pi będzie płaszczyzną, która zawiera prostą l...

Post autor: iyhun » 15 cze 2018, o 15:53

[quote="kerajs"]Prosta \(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}}\) ma wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{l}= \left[ 1,2,-1\right]}\) i jest zaczepiona w punkcie \(\displaystyle{ L=(1,1,0)}\)
Prosta \(\displaystyle{ k: \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}}\) ma wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{k}= \left[ 1,2,1\right]}\) i jest zaczepiona w punkcie \(\displaystyle{ K=(0,0,1)}\) .

Można tak:
1.
Oblicz równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) rozpiętej na wektorach k,l i zaczepionej w punkcie L.
Odp: \(\displaystyle{ 4x-2y-2=0}\)
2.
Napisz równanie prostej p, prostopadłej do płaszczyzny i przechodzącej przez punkt K
Odp: \(\displaystyle{ p: \ \frac{x}{4}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{0}}\)
3.
Oblicz współrzędne punktu przebicia płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) przez prostą p.
Odp: \(\displaystyle{ K'=( \frac{4}{10}, \frac{-2}{10},1)}\)
4.
Napisz równanie rzutu prostej k na płaszczyznę. Rzut k' do niej równoległy do k i zawiera punkt K'.
Odp: \(\displaystyle{ k': \ \ \frac{x-\frac{4}{10}}{1}=\frac{y+\frac{2}{10}}{2}=\frac{z-1}{1}}\)[/quote]
Ad 1
\(\displaystyle{ [1,,2,-1]x[1,2,1]=4\vec{i} -2\vec{j}}\)
\(\displaystyle{ \vec{n}=[4,-2,0]}\)
\(\displaystyle{ 4(x-1)-2(y-1)=0}\)
\(\displaystyle{ 4x-2y-2=0}\)
Ad 2
\(\displaystyle{ \ \frac{x}{4}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{0}}\)
W mianowniku znajduje się wektor kierunkowy, czyli wektor \(\displaystyle{ \vec{n}}\), który jest prostopadły do płaszczyzny. Licznik musi się zerować po podstawieniu pod niego punktu K.
Ad 3
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x-2y-2=0\\x=4t\\y=-2t\\z=1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ K'=( \frac{4}{10}, \frac{-2}{10},1)}\)
Ad 4
\(\displaystyle{ k': \ \ \frac{x-\frac{4}{10}}{1}=\frac{y+\frac{2}{10}}{2}=\frac{z-1}{1}}\)

Próbowałem sobie to rozrysować i zrozumieć/ Bardzo mi pomogły te kroki. Dziękuję za pomoc.

ODPOWIEDZ