Matematyka.pl

Właściciel teatru zauważył, że przy cenie biletu wynoszącej 20 zł na spektakl przychodzi średnio 300 osób, a każdorazowe podniesienie ceny biletu o złotówkę powoduje zmniejszenie liczby widzów o 5. Przy jakiej cenie biletu dochód właściciela będzie najwiekszy?
Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ f(x)=(20+x)(300-5x)}\)
\(\displaystyle{ x}\)- liczba złotówek
Wyszło mi że największy dochód będzie, jeśli cena biletu będzie 40 zł i dochód ten wyniesie 8000 zł.
Mógłby ktoś sprawdzić, czy moje rozumowanie jest poprawne?

Ponieważ \(\displaystyle{ ab\le \left( \frac{a+b}{2}\right)^2}\) dla dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ a, \ b}\), więc
\(\displaystyle{ 5\cdot (20+x)(60-x)\le 5\cdot \left( \frac{(20+x)+(60-x)}{2} \right)^2 =8000}\)
z równością gdy \(\displaystyle{ 20+x=60-x}\), czyli \(\displaystyle{ x=20}\).
EDIT: poprawiłem błąd w odejmowaniu.

Czyli moje rozumowanie jest w porządku?

Wygląda na to, że tak. Funkcję ułożyłeś poprawną, reszty rozumowania nie napisałeś, natomiast prawdą jest, że maksymalny zysk to \(\displaystyle{ 8000}\) zł i że wówczas cena biletu jest równa \(\displaystyle{ 20+20=40}\).

Wyszło mi równanie kwadratowe i z racji tego że funkcja jest ramionami do dołu więc najwięcej osiągnie na wierzchołku, wyszło mi że p=20=x więc cena będzie 20+20=40, tak myślałem...

No to OK.