Matematyka.pl

Cześć! Mam problem z zadaniem z mechaniki analitycznej:

Moment bezwładności sześcianu o masie \(\displaystyle{ m}\) i krawędzi \(\displaystyle{ a}\) względem osi leżącej na jego krawędzi: \(\displaystyle{ I_{y}=I_{x}=I_{z}= \frac{2}{3}m a^{2}}\). Zaś moment bezwładności pręta o masie \(\displaystyle{ \frac{m}{12}}\) i długości \(\displaystyle{ a}\) względem osi równoległej i prostopadłej do pręta przechodzących przez jego środek wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ I_{c ||} = 0}\) i \(\displaystyle{ I_{c\perp }}= \left( \frac{m}{12} \right) \left( \frac{ a^{2} }{12} \right)}\).

Należy wyznaczyć główne centralne osie i momenty bezwładności ciała złożonego z tego sześcianu oraz 12 prętów leżących na jego krawędziach.

Czy moge was prosić o pomoc?
Pozdrawiam

W czym, z czym, jest problem?
Własne próby wypada tu, na forum, pokazać. Ich brak to wołanie o "gotowca". W przyszłej pracy też będą takie wołania? Ale do kogo?

No więc, zrobiłbym to tak :
rys:

\(\displaystyle{ I_{y}= I_{yc}+m\left( \frac{a \sqrt{2} }{2}\right)^{2}}\)

\(\displaystyle{ I_{yc}= \frac{1}{6}ma^{2} = I_{zc}=I_{xc}}\)

\(\displaystyle{ I_{Yc}=I_{yc}+8 \cdot I_{c \perp }+4 \cdot I_{c ||}= \frac{2}{9}ma ^{2} = I_{Zc}=I_{Xc}}\)

Ale skoro zostało niezaliczone, to wnioskuje, że gdzieś robie błąd, ale nie mogę go zlokalizować.

Pozdrawiam

Edit: przepraszam, ale nie chciało się wstawić poprzez[img]

Proszę zauważyć,że zachodzi tu zmiana osi z podanych dla poszczególnych elementów składowych, klocek, dwie jednakowe ramki z czterach jednakowych prętów każda, ich symetryczność, cztery pręty (te zielone na szkicu) których masa daje moment bezwładności względem osi głównej i centralnej.
Zatem tw. Steinera jest tu bardzo przydatne.
Wypada zauważyć symetrią mas względem osi i konsekwencje tego w udziale momentów zboczenia każdej ze składowych mas.
Ale też wypada sprawdzić czy tylko te trzy osie prostopadłe do ścian klocka są głównymi centralnymi? Czy nie jest taką i oś przechodząca przez przeciwległe wierzchołki sześcianu? To w rozwiązaniu zadania powinno być wypowiedziane, np na mocy braku lub nie symetrii którą trzeba wykazać lub jej zaprzeczyć.
Niżej komiksowa podpowiedż dla przypadku osi głównej i centralnej prostopadłej do ścianki.

Super dziekuje bardzo kruszewski,

Wyskrobalem cos takiego:

1. KLOCEK

\(\displaystyle{ I_{y} =I _{x} =I _{z} =I _{yc} + m \left( \frac{a \sqrt{2} }{2} \right) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ I _{yc}= \frac{1}{6} ma ^{2} =I _{zc}=I _{xc}}\)

2. RAMKA

\(\displaystyle{ I _{yr} = 8 I _{c\perp } \left( \frac{a \sqrt{2} }{2} \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ I _{yr} = \frac{ma ^{4} }{36}}\)


3. CZTERY PRĘTY

\(\displaystyle{ I _{yp} = 4 I _{c||} \left( \frac{a \sqrt{2} }{2} \right) ^{2} = 0}\)

WIĘC:

\(\displaystyle{ I _{Y} = I _{X} = I _{Z} = I _{yc} + I _{yr} = \frac{ma ^{4} }{36} + \frac{1}{6} ma ^{2} = \frac{1}{6} ma ^{2} \left( 1+ \frac{1}{6} ma ^{2} \right)}\)



Jak myślicie, coś z tego będzie?:)

Dla jednego pręta ramki:
Steiner się kłania! Steiner!
\(\displaystyle{ I_{r\xi} = I_{c \perp } + m_p \cdot \left( \sqrt{2} ( \frac{a}{2}) \right)^2 = I_{c \perp } + m_p \frac{a^2}{2}}\)

\(\displaystyle{ I_{r\xi} = \left( \frac{m}{12} \right) \left( \frac{ a^{2} }{12} \right) + \frac{m}{12} \frac{a^2}{2}}\)

Dla jednego pręta łaczącego ramki:
\(\displaystyle{ I_{p\xi}= m_p \cdot \frac{a^2}{2}}\) , bo, jak wynika z treści zadania jego moment względem osi podłużnej równy jest zeru. To taki ciężki odcinek prostej (lub odcinek ciężkiej prostej)