Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ C \in \sigma(\{A_{n} \times B_{n} :n= 1,2,... \})}\) oraz niech \(\displaystyle{ C_{x} = \{y \in Y : (x,y) \in C \}}\). Pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ x_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2}}\) należą do tego samego \(\displaystyle{ A_{n}}\), to \(\displaystyle{ C_{x_{1}} = C_{x_{2}}}\)

A nie miało być: \(\displaystyle{ x_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2}\) należą do tych samych \(\displaystyle{ A_n}\) ?

Jeśli tak, to określ rodzinę

\(\displaystyle{ \mathcal{C} = \{ C \in \sigma( \{ A_n \times B_n : n = 1, 2, \ldots \} ) : C_{x_1} = C_{x_2} \}}\)

i udowodnij, że

(i) dla \(\displaystyle{ n = 1, 2, \ldots}\) jest \(\displaystyle{ A_n \times B_n \in \mathcal{C}}\);

(ii) \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma-}\)ciałem.