żS-2, od: luka52, zadanie 3

[Liga]

a)
Z monotoniczności f. log.:
\(\displaystyle{ 4^{x^2 + 4x} + 2^{x^2 + 4x - 1} - \frac{1}{2} < 1}\)
przekształcając powyższą nierówność otrzymuję:
\(\displaystyle{ 4^{x^2 + 4x} + 2^{x^2 + 4x - 1} - \frac{3}{2} < 0\\
2^{2 (x^2 + 4x)} + \frac{1}{2} 2^{x^2 + 4x} - \frac{3}{2} < 0\\
\frac{1}{2} 2^{x^2 + 4x} 2^{x^2 + 4x + 1} + \frac{1}{2} 2^{x^2 + 4x} - \frac{3}{2} < 0\\
\frac{1}{2} ft( 2^{x^2 + 4x} 2^{x^2 + 4x + 1} + 2^{x^2 + 4x} - 3 \right) < 0\\
2^{x^2 + 4x} 2^{x^2 + 4x + 1} - 2 2^{x^2 + 4x} + 3 2^{x^2 + 4x} - 3 < 0\\
2^{x^2 + 4x + 1} ft( 2^{x^2 + 4x} - 1 \right) + 3 ft( 2^{x^2 + 4x} - 1 \right) < 0\\
ft( 2^{x^2 + 4x} - 1 \right) ft( 2^{x^2 + 4x + 1} + 3 \right) < 0}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ t = 2^{x^2 + 4x}, \quad t > 0}\) mamy:
\(\displaystyle{ (t - 1)(2 t + 3) < 0 \ \ i \ \ t > 0 \Rightarrow t \in (0, 1)\\
t > 0 \ \ i \ \ t < 1 x \mathbb{R} \ \ i \ \ x^2 + 4x < 0 \Rightarrow x \in (-4, 0)}\)

Jednakże należy uwzględnić założenia, tj.:
\(\displaystyle{ 4^{x^2 + 4x} + 2^{x^2 + 4x - 1} - \frac{1}{2} > 0}\)
podstawiając \(\displaystyle{ t = 2^{x^2 + 4x} > 0}\) sprowadzam nierówność do nierówności kwadratowej:
\(\displaystyle{ t^2 + \frac{t}{2} - \frac{1}{2} > 0 \Rightarrow (t+1)(t - 0.5) > 0 \ \ i \ \ t > 0 t (- ;0) \cup (0.5; + )}\)
\(\displaystyle{ t < 0 \ \ i \ \ t > 0.5 \Rightarrow x \in \phi \ \ i \ \ x^2 + 4x > - 1 \Rightarrow x \in \left(-\infty; -2 - \sqrt{3} \right) \cup \left( -2 + \sqrt{3}; + \infty \right)}\)

Ostatecznie:
\(\displaystyle{ x \in \left( - 4; -2 - \sqrt{3} \right) \cup \left(-2 + \sqrt{3}; 0 \right)}\)

b)
zal. \(\displaystyle{ x>0 \ \ i \ \ x \neq 1}\)

\(\displaystyle{ \log_x 4 + \log_2 x^2 = 5\\
\frac{\log_2 4}{\log_2 x} + 2 \log_2 x = 5}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ t = \log_2 x > 0}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{2}{t} + 2t = 5\\
2t^2 - 5t + 2 = 0\\
\Delta = 25 - 16 = 9 = 3^2\\
t = \frac{5 \pm 3}{4} \ \ i \ \ t > 0 t ft\lbrace \frac{1}{2},2 \right\rbrace}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ t = \frac{1}{2} \frac{1}{2} = \log_2 x x = \sqrt{2}\\
t = 2 2 = \log_2 x x = 4}\)
Stąd uwzględniając zał. - \(\displaystyle{ x \lbrace \sqrt{2}, 4 \rbrace}\)



PS. Z góry przepraszam za zamieszanie w podpunkcie a) związane z tymi przekształceniami.

[mol_ksiazkowy]

okey, 6 pkt