punkty tworzace trójkąt w kwadracie

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

punkty tworzace trójkąt w kwadracie

Post autor: robin5hood » 2 paź 2007, o 15:40

W kwadracie obrano \(\displaystyle{ 2n^2+1}\) punktów tak, że żadne trzy nie należą do jednej prostej. Udowodnij, że wśród wybranych punktów istnieją trzy, które są wierzchołkami trójkąta o polu nie większym niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2n^2}}\) pola kwadratu.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

*Kasia
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2826
Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 482 razy

punkty tworzace trójkąt w kwadracie

Post autor: *Kasia » 13 paź 2007, o 12:26

Podziel dany kwadrat na \(\displaystyle{ n^2}\) mniejszych kwadracików. Z zasady szufladkowej wynika, że w co najmniej jednym z nich znajdują się trzy punkty. Każdy trójkąt znajdujący się w kwadracie ma pole niewiększe niż połowa pola kwadratu. Zatem istnieje taki trójkąt, którego \(\displaystyle{ P\leq \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n^2}=\frac{1}{2n^2}}\), c.k.d.

ODPOWIEDZ