Równanie drugiego rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Speed094
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 11 paź 2014, o 13:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie drugiego rzędu

Post autor: Speed094 » 9 cze 2018, o 23:21

\(\displaystyle{ \left( \frac{d}{dx} \left[ \left( 2+x \right) ^{2} \cdot y' \right] \right) + y = 0}\)
Ostatnio zmieniony 9 cze 2018, o 23:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 678 razy

Re: Równanie drugiego rzędu

Post autor: Janusz Tracz » 9 cze 2018, o 23:49

Policzył bym pochodną najpierw

\(\displaystyle{ (x+2)^2y''+2(x+2)y'+y=0}\)

Jeśli podstawimy nową zmianą \(\displaystyle{ x+2=e^t}\) to powinniśmy dostać równanie o stałych współczynnikach. Bo

\(\displaystyle{ (x+2) \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=e^t \cdot \frac{ \mbox{d}y }{e^t \mbox{d}t}= \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ (x+2)^2 \frac{ \mbox{d}^2y }{ \mbox{d}x^2 }= \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}-\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}}\)

Co po podstawianiu daje

\(\displaystyle{ y''+y'+y=0}\)

przy czym zmianą niezależną jest tu \(\displaystyle{ t}\). Takie równanie już można rozwiązań znanymi metodami co daje:

\(\displaystyle{ y(t)=C_1e^{- \frac{t}{2} }\sin\left( \frac{ \sqrt{3}t}{2} \right)+C_2e^{- \frac{t}{2} }\cos\left( \frac{ \sqrt{3}t}{2} \right)}\)

a więc wracając do mniemanej \(\displaystyle{ x}\) można zapisać że rozwiązaniem jest:

\(\displaystyle{ y(x)=C_1 \frac{\sin\left( \frac{ \sqrt{3}\ln \left( x+2\right) }{2} \right)}{ \sqrt{x+2} }+C_2 \frac{\cos\left( \frac{ \sqrt{3}\ln \left( x+2\right) }{2} \right)}{ \sqrt{x+2} }}\)

ODPOWIEDZ