[zad] Prawdopodobieństwo ilości powitań

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Szczawik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 cze 2006, o 10:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole

[zad] Prawdopodobieństwo ilości powitań

Post autor: Szczawik » 2 paź 2007, o 13:36

Znalazłem takie zadanko [zbiór zadań z końca lat '80] i nie jestem pewien jak je ugryźć:

Jest huczny bal. Na bal przybyło N par [właściwie pary możemy traktować jako spójne całości]. Cały bal trwał T, a podczas balu pary dyskutowały ze sobą (w danej chwili jedna para może dyskutować tylko z 1 inną parą, dwie dane pary mogą w ciągu całego balu dyskutować kilkukrotnie). Dyskusja mogła trwać średnio R, ale - ze względu na hałas - mogła nie dojść do skutku (wtedy nie trwa nic) . Jeśli wiemy, że podczas balu P [%] rozmów doszło do skutku, ile dyskusji (D) maksymalnie można było prowadzić?

W skrócie:
N - ilość par
T - czas balu
R - czas dyskusji
P - procent nawiązanych dyskusji
D - szukana ilość dyskusji

Mój pomysł na rozwiązanie początkowo kierował się w stronę Bernoulliego (z czasu i ilości dyskusji wyliczyć szansę, że dana para w danej chwili rozmawia, policzyć ile jest takich par [symbol Newtona]; otrzymam prawdopodobieństwo Px tego, że w danej chwili rozmawia Dx par, a potem zsumować prawdopodobieństwa od 0 do szukanego D, aż sumaryczne prawdopodobieństwo nie przekroczy P).

Niby pomysł dobry ale nie uwzględnia kilku rzeczy:
- przy nieparzystej ilości par x prawdopodobieństwo Px jest niezerowe (a przecież para może rozmawiać tylko z dokładnie jedną inną parą)
- jeśli jako ilość prób przyjmę ilość par i będę liczył szansę, że tyle w danej chwili rozmawia, otrzymam, że dla ilości prób równej N/2 szanse prowadzenia dyskusji są niezerowe (a rozmawia więcej par niż można w ogóle utworzyć)
- plan nie uwzględnia, że rozmowa A z B jest czasem R zarówno dla A, jak i B, tak samo niewykonanie rozmowy ze względu na szum.

Szukam więc alternatywnych pomysłów.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

[zad] Prawdopodobieństwo ilości powitań

Post autor: scyth » 2 paź 2007, o 14:03

Ja bym próbował rozwiązać [zad] od tej strony :

Cały czas T możemy podzielić na odcinki o długości R - mamy ich \(\displaystyle{ \lfloor{\frac{T}{R}}\rfloor}\) przy zaokrągalniu w dół (najlepiej by było bez zaokrąglania, no ale cóż - może trzeba w górę, bo szukamy maksymalnej liczby rozmow).

W jednym odcinku rozmawia nam P% par (niech p oznacza odsetek, czyli p=P%:100%), zatem rozmawia \(\displaystyle{ {N\choose2}\cdot p}\).

Zatem ogółem dyskusji mogło byc prowadzonych:
\(\displaystyle{ \lfloor{\frac{T}{R}}\rfloor {N\choose2}\cdot p}\)

Pytanie o maksymalna liczbę może sugerować rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \lfloor\frac{TN(N-1)P}{200R}\rfloor}\)

ODPOWIEDZ