wyznacz ekstrema funkcji

[elcia_ch]

1. \(\displaystyle{ f (x) = e^{-x} + e^{2x}}\)

2. \(\displaystyle{ f (x) =\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}}\)

3. \(\displaystyle{ f (x) = |x|\cdot (x-1)^{2}}\)

4.\(\displaystyle{ f (x) = x\cdot arccot x}\)

[scyth]

1.
\(\displaystyle{ f'(x)=2e^{2x}-e^{-x} \\
f'(x)=0 \ \Leftrightarrow \ x=-\frac{\ln 2}{3} \\
\Rightarrow x=-\frac{\ln 2}{3} - \hbox{minimum lokalne}}\)

[ Dodano: 2 Października 2007, 11:10 ]
2.
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{2x\sqrt{x}}(2-\ln x) \\
f'(x) = 0 \ \Leftrightarrow x=e^2 \\
\Rightarrow x=e^2 - \hbox{maksimum lokalne}}\)

[ Dodano: 2 Października 2007, 12:11 ]
3.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
f'(x)=(x-1)(3x-1), \ x > 0\\
f'(x)=-(x-1)(3x-1), \ x < 0
\end{cases} \\
\\
f'(x)=0 x=1 x=\frac{1}{3} \\
x=1 - \hbox{minimum lokalne} \\
x=\frac{1}{3} - \hbox{maksimum lokalne}}\)
Dodatkowo można zauważyć, że ponieważ \(\displaystyle{ f(x) 0}\) to:
\(\displaystyle{ \Rightarrow x=0 - \hbox{minimum lokalne}}\)

[ Dodano: 2 Października 2007, 12:35 ]
4.
\(\displaystyle{ g(x)=f'(x)=arccot x - \frac{x}{x^2+1}}\)
Teraz trzeba pokazać, że pochodna się nie zeruje albo jakoś inaczej...