Matematyka.pl

Zadanie: Na ile sposobów można wybrać \(\displaystyle{ 6}\) kart z talii (\(\displaystyle{ 52}\) karty), aby karty były we wszystkich kolorach.

Myślałem, że zadanie jest dość proste i wystarczy wybrać \(\displaystyle{ 4}\) razy jedną z \(\displaystyle{ 13}\) kart, następnie dobrać dwie karty ze zbioru, który pozostał:
\(\displaystyle{ {13\choose 1}^{4} \cdot {48\choose 2}}\)

Jest to jednak błędna odpowiedź, poprawna powinna być następująca:
\(\displaystyle{ {4\choose 2} \cdot {13\choose 2}^{2} \cdot {13\choose 1}^{2} + {4\choose 1} \cdot {13\choose 3} \cdot {13\choose 1}^{3}}\)

Chciałbym dowiedzieć się, skąd wziął się ten wynik?

Zauważ, że otrzymanie kart w różnych kolorach oznacza jedno z następujących:
1. Mamy trzy karty tego samego koloru oraz po jednej karcie w pozostałych kolorach,
2. Mamy po dwie karty w pewnych dwóch kolorach oraz po jednej karcie w pozostałych kolorach.
Jak zechcesz to przeliczyć, to dojdziesz dokładnie do tego samego wzoru, który podałeś jako poprawny.

Błąd w Twoim rozwiązaniu polega na tym, że istnieją zestawy kart, które możemy wybrać na co najmniej dwa różne sposoby, np. zestaw:

4 asy + król kier + król karo

możemy wybrać:
a) wybierając najpierw 4 asy (jako karty w różnych kolorach), a następnie 2 króle (jako dowolne spośród pozostałych),
b) wybierając najpierw 2 czarne asy i 2 króle (jako karty w różnych kolorach), a następnie 2 czerwone asy (jako dowolne spośród pozostałych),
c) wybierając najpierw 3 asy i króla, a następnie asa i króla (tutaj mamy dwa sposoby).

Widzimy, że przy stosowaniu procedury wyboru zaproponowanej przez Ciebie istnieją różne sposoby wyboru tego samego zestawu kart. To oznacza, że zliczając liczbę tych sposobów otrzymujemy wynik wyższy, niż liczba możliwych zestawów kart, a tu właśnie chodzi o liczbę możliwych do uzyskania zestawów.

Jeżeli masz jeszcze jakieś wątpliwości to pytaj, bo może moje wytłumaczenie jest pokrętne.

Dziękuję bardzo, wszystko już zrozumiałem, faktycznie nie brałem pod uwagę, że w moim rozumowaniu zestawy się powtarzają, teraz jest to jasne.