Matematyka.pl

Czy powyższa nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych? Jeśli tak, jak ją udowodnić?

\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}- \frac{1}{ n^{2} } }-|x| \le \frac{1}{ n^{2} }}\)

Nie, bo nie jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Ale jest prawdziwa dla wszystkich liczb, dla których jest określona. Wyznaczenie dziedziny pozostawiam Tobie.
Dowodzić można naprościej korzystając z monotoniczności funkcji pierwiastek:

\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}-\frac{1}{n^2}} - \left|x\right| < \sqrt{x^2}-\left|x\right| = \left|x|-\right|x| = 0 < \frac{1}{n^2}}\)