Matematyka.pl

Rozwiązać
\(\displaystyle{ x^3=y^2+4}\)
korzystając z własności pierścienia Gaussa \(\displaystyle{ \ZZ}\).

Mogę prosić o jakieś wskazówki jak zabrać się za to zadanie?

Niestety nie udało mi się zauważyć w tym zadaniu możliwości zastosowania wiedzy o pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ}\) (co nie znaczy, że takiej możliwości nie ma, pewnie po prostu coś mi umknęło), natomiast z pewnością metoda krzywych eliptycznych pozwala rozwiązać to zadanie, ale to jednak swego rodzaju armata.

Poniżej przedstawiam szkic rozwiązania, część z faktów pozostawiam do samodzielnego przemyślenia.

Wyjdziemy od prostej obserwacji, że wyrażenie \(\displaystyle{ y^2+4}\) rozkłada się na \(\displaystyle{ (y+2i)(y-2i)}\) w podanym pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).

Pokażemy, że każdy z czynników jest sześcianem pewnej liczby całkowitej Gaussa. Zauważmy, że albo \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są jednocześnie parzyste albo jednocześnie nieparzyste (dlaczego?).

Załóżmy wpierw, że \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są nieparzyste. Wykażemy, że \(\displaystyle{ y-2i}\) oraz \(\displaystyle{ y+2i}\) są względnie pierwsze: gdyby \(\displaystyle{ d}\) było wspólnym dzielnikiem obu tych wyrażeń, \(\displaystyle{ d}\) dzieliłoby ich różnicę, tj. \(\displaystyle{ 4i}\).

Korzystając z własności normy w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), wiemy, że \(\displaystyle{ N(d)}\) musi dzielić \(\displaystyle{ N(4i)=16}\). Ponieważ \(\displaystyle{ N(d)}\) dzieli \(\displaystyle{ N(y+2i)}\) (dlaczego?), \(\displaystyle{ N(d)}\) dzieli także \(\displaystyle{ N(y+2i)=y^2+4=x^3}\) będące nieparzyste. Stąd \(\displaystyle{ N(d)=1}\), a więc skoro \(\displaystyle{ x^3}\) jest sześcianem, każdy z czynników musi być sześcianem. Pozostaje sprawdzić, że oba czynniki są sześcianami w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) również dla przypadku parzystego (ćwiczenie).

Przy oznaczeniu \(\displaystyle{ x=a+bi}\) mamy więc po przyrównaniu odpowiednio części rzeczywistej, jak i urojonej: \(\displaystyle{ y=a(a^2-3b^2)}\) oraz \(\displaystyle{ 2=b(3a^2-b^2)}\), z równań to których możemy wyprowadzić jedyne możliwości:

\(\displaystyle{ x=2, \quad y=\pm 2}\) oraz \(\displaystyle{ x=5,\quad y=\pm 11}\).

Fajne podejście, wydawało mi się, że rozkład \(\displaystyle{ y^2+4=(y+2i)(y-2i)}\) nic nie daje, a jednak.

Natomiast drobna uwaga:

Dowód względnej pierwszości dla przypadku \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) parzystych zostawiam jako ćwiczenie.

Zasugerowana teza ćwiczenia jest nieprawdziwa na przykład dla \(\displaystyle{ y=2}\).

Czujne oko! Należy sprawdzić, że oba czynniki są sześcianami w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), a nie, że są względnie pierwsze (ewidentnie \(\displaystyle{ 2}\) jest wspólnym dzielnikiem).

Dla czytelności edytowałem pierwotną wiadomość.

JakimPL pisze:Stąd \(\displaystyle{ N(d)=1}\), a więc skoro \(\displaystyle{ x^3}\) jest sześcianem, każdy z czynników musi być sześcianem.

Pudło. Każdy z czynników musi być stowarzyszony z sześcianem. Dla \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to to samo, bo każdy element odwracalny jest sześcianem, ale nie jest tak w każdym pierścieniu liczbowym.

Zgadza się; przypominam, że jest to jedynie szkic - diabeł tkwi w szczegółach.