Równania różniczkowe typu F(y,y'')

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
kox944
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 mar 2018, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WWA

Równania różniczkowe typu F(y,y'')

Post autor: kox944 » 7 cze 2018, o 12:45

Witam, mam dokładnie takie równanie :

\(y''+4y=x\sin 2x\)

Więc zaczynam od :

\(y''+4y=0\)

Z czego wychodzi, że :
\(r^{2} +4 = 0 \\ r_{1} = 2i \vee r_{2} = -2i\\ \alpha = 0 , \beta = 2\)

RORJ : \(y= C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x\)

Nie jestem pewien czy da się użyć tutaj metody przewidywania, ale jeżeli tak to czy rozwiązanie szczególne powinno być postaci :

\(y_{s} = Ax \cdot B\sin 2x\)
Ostatnio zmieniony 7 cze 2018, o 14:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Nie zostawiaj pustych lini w tagach [latex] [/latex]. Nowa linia to \\.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Równania różniczkowe typu F(y,y'')

Post autor: szw1710 » 7 cze 2018, o 15:27

\(y_s=(Ax+B)\cos 2x+(Cx+D)\sin 2x.\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Równania różniczkowe typu F(y,y'')

Post autor: kerajs » 7 cze 2018, o 16:14

Raczej:
\(y_s=(Ax^2+Bx)\cos 2x+(Cx^2+Dx)\sin 2x.\)

kox944
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 16 mar 2018, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WWA

Re: Równania różniczkowe typu F(y,y'')

Post autor: kox944 » 7 cze 2018, o 16:33

kerajs pisze:Raczej:
\(y_s=(Ax^2+Bx)\cos 2x+(Cx^2+Dx)\sin 2x.\)
\((Ax^2+Bx)\) - Czy mógłbyś napisać po czym poznać kiedy jest akurat taka forma ?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Równania różniczkowe typu F(y,y'')

Post autor: kerajs » 7 cze 2018, o 17:03

Wyłącznie ze względu na prawą stronę równania, przewidywanie jest takie jak podał prof. szw1710.

Jednak na przewidywanie może wpłynąć rozwiązanie równania jednorodnego, o ile w całce ogólnej tego równania wystąpi fragment który dubluje część pierwotnie przewidywanej całki szczególnej.

Wtedy to, co przewidujemy, należy wzmocnić przez pomnożenie przez x do takiej najmniejszej naturalnej potęgi, aby żaden fragment całki ogólnej nie powielał się z fragmentem przewidywanej całki szczególnej. (Tu wystarczyło \(x^1\))

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Równania różniczkowe typu F(y,y'')

Post autor: szw1710 » 7 cze 2018, o 23:35

kerajs pisze:Raczej:
\(y_s=(Ax^2+Bx)\cos 2x+(Cx^2+Dx)\sin 2x.\)
Masz rację, bo tzw. stała kontrolna \(2i\) jest jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.

ODPOWIEDZ