Granica z symbolem nieoznaczonym zero do zera.

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Granica z symbolem nieoznaczonym zero do zera.

Post autor: Emiel Regis » 1 paź 2007, o 22:09

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}(sinx)^{tgx}}\)
Policzyłem tą granicę korzystając z własnosci logarytmu, natomiast wg mnie można to zrobić tylko i wyłącznie ale przy granicy prawostronnej... jako wynik otrzymalem 1. Natomiast nie wiem jak ją policzyć z lewej strony, zresztą nic wiecej nie sugeruje.
Maple mi napisał że granica istnieje i wynosi faktycznie 1.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Granica z symbolem nieoznaczonym zero do zera.

Post autor: luka52 » 1 paź 2007, o 22:55

IMHO z lewej to nie bardzo, gdyż z def. funkcji wykładniczej należy przyjąć zał. sin x > 0 (ew. nierówność słaba?) - tj. funkcja nie jest określona w lewostronnym sąsiedztwie punktu 0.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Granica z symbolem nieoznaczonym zero do zera.

Post autor: Emiel Regis » 1 paź 2007, o 22:59

O własnie, rozsądne spostrzeżenie, czyli granice policzyłem z prawej i nic więcej sie nie zrobi. Tylko mnie dziwi czemu Maple mi ją policzył jako obustronną? Do tej pory jak istniały tylko jednostronne to on to pisał...

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Granica z symbolem nieoznaczonym zero do zera.

Post autor: luka52 » 1 paź 2007, o 23:09

Mi Mathematica też liczy z dwóch stron
IMHO jest to dlatego, że dla małych liczb ujemnych (trochę nieprecyzyjne określenie) wartością tego wyrażenia jest liczba zespolona, której cz. rzeczywista dąży do 1, a urojona do 0 - stąd może ta lewostronna granica?

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Granica z symbolem nieoznaczonym zero do zera.

Post autor: Emiel Regis » 1 paź 2007, o 23:35

O zespolonych trochę myślałem jednak byłbym z nimi ostrożny, logarytm w nich nie jest jednoznaczny, trzeba by gałąź wybierac itp, potrafisz to formalnie policzyć?
A co do załozenia że podstawa funkcji wykładniczej musi byc dodatnia to okej tylko czy my tu mamy funkcję wykładniczą? U nas podstawa nie jest stala tylko wyraźnie zmienna...

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Granica z symbolem nieoznaczonym zero do zera.

Post autor: luka52 » 1 paź 2007, o 23:42

Drizzt pisze:trzeba by gałąź wybierac itp, potrafisz to formalnie policzyć?
Nie, podałem to tylko jako ciekawostkę
Drizzt pisze:A co do załozenia że podstawa funkcji wykładniczej musi byc dodatnia to okej tylko czy my tu mamy funkcję wykładniczą? U nas podstawa nie jest stala tylko wyraźnie zmienna...
Nie ma znaczenia czy podstawa potęgi jest stała czy nie - ważne by była większa od zera.
A czym to wyrażenie jest formalnie? - tym się nie interesowałem jakoś ;]

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Granica z symbolem nieoznaczonym zero do zera.

Post autor: Emiel Regis » 1 paź 2007, o 23:50

hehe, a to spryciarz; )
no ale...
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x \cdot (-1)^{\frac{1}{x}}}\)
co powiesz na taką granicę: > tez masz podstawę ujemną, ona intuicyjnie wychodzi 0... no ale licząc ją chyba faktycznie bez zespolonych by się nie obeszło. Zresztą dziś to już za bardzo mam namieszane w głowie. Jeśli by ktoś miał jakies pomysły do tej pierwszej jeszcze to prosze pisać.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Granica z symbolem nieoznaczonym zero do zera.

Post autor: luka52 » 2 paź 2007, o 14:00

Tylko, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x (-1)^{\frac{1}{x}}}\) nie jest określona ani lewo- ani prawostronnym sąsiedztwie punktu 0, więc chyba nie można tutaj mówić o granicy.

ODPOWIEDZ