Matematyka.pl

Witam, mam macierz, z której mam wyliczyć wektory własne

\(\displaystyle{ A = \left(
\begin{array}{cccc}
19&5&-19&14\\
-10&-3&10&-9\\
10&2&-11&7\\
-8&-3&7&-6
\end{array}
\right) \in \QQ^{4\times 4}}\)

Czyli mam

\(\displaystyle{ \det(A-\lambda E) = \det\left(
\begin{array}{cccc}
19-\lambda&5&-19&14\\
-10&-3-\lambda&10&-9\\
10&2&-11-\lambda&7\\
-8&-3&7&-6-\lambda
\end{array}
\right)}\)

Więc przy redukcji do macierzy schodkowej wychodzą mi wartości typu

\(\displaystyle{ \frac{\lambda^2-16\lambda-7}{-\lambda+19}}\)

Jest jakaś inna opcja policzenia tego?

Nie wiem co zrobiłeś, ale wielomian charakterystyczny jest wielomianem czwartego stopnia a nie funkcją wymierną

Nie, nie chodziło mi o wielomian charakterystyczny tylko o elementy w macierzy po przekształceniach do macierzy schodkowej. Dużo roboty przy przepisywaniu tej macierzy przy każdym przekształceniu i łatwo się pomylić.

I stąd pytanie, czy jest jakaś inna możliwość żeby to obliczyć.

Można policzyć wyznacznik, wartości \(\displaystyle{ \lambda}\) dla których wyznacznik się zeruje to wartości własne macierzy. Kiedy masz już wartości własne, wstawiasz po kolei je do macierzy, tworzysz dodatkowo kolumnę x,y,z,p ( bo rozumiem, że skoro macierz jest 4x4 to masz odwzorowanie 4 wymiarowe) i to jest równe macierzy zerowej i wtedy wychodzi Ci układ równań, z którego powinny Ci powychodzić wektory własne.

Studniek pisze:Można policzyć wyznacznik, wartości \(\displaystyle{ \lambda}\) dla których wyznacznik się zeruje to wartości własne macierzy. Kiedy masz już wartości własne, wstawiasz po kolei je do macierzy, tworzysz dodatkowo kolumnę x,y,z,p ( bo rozumiem, że skoro macierz jest 4x4 to masz odwzorowanie 4 wymiarowe) i to jest równe macierzy zerowej i wtedy wychodzi Ci układ równań, z którego powinny Ci powychodzić wektory własne.

Raczej wektorowi zerowemu.. Ponadto wartości własne muszą być wymierne (bo macierz jest nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\))
Może autor ma problem z policzeniem wyznacznika macierzy \(\displaystyle{ 4}\) na \(\displaystyle{ 4}\)?

karolex123 pisze:

Studniek pisze:Można policzyć wyznacznik, wartości \(\displaystyle{ \lambda}\) dla których wyznacznik się zeruje to wartości własne macierzy. Kiedy masz już wartości własne, wstawiasz po kolei je do macierzy, tworzysz dodatkowo kolumnę x,y,z,p ( bo rozumiem, że skoro macierz jest 4x4 to masz odwzorowanie 4 wymiarowe) i to jest równe macierzy zerowej i wtedy wychodzi Ci układ równań, z którego powinny Ci powychodzić wektory własne.

Raczej wektorowi zerowemu.. Ponadto wartości własne muszą być wymierne (bo macierz jest nad \(\displaystyle{ \mathbb Q}\))
Może autor ma problem z policzeniem wyznacznika macierzy \(\displaystyle{ 4}\) na \(\displaystyle{ 4}\)?

Tak chodziło mi oczywiście o wektor zerowy . Faktycznie, nie zauważyłem tego, że macierz jest nad Q. A wyznacznik 4x4 tutaj nie jest co prawda przyjemny do obliczenia, ale od czego jest stary dobry Laplace

Laplace jest istotnie fajny, zwłaszcza gdy mamy gdzieś jakieś zera (im więcej w obrębie jednego wiersza/ kolumny- tym lepiej). Niestety tutaj jest z tym słabo, więc można być nieco sprytniejszym.
Interesuje nas sytuacja, w której macierz \(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccc} 19-\lambda&5&-19&14\\ -10&-3-\lambda&10&-9\\ 10&2&-11-\lambda&7\\ -8&-3&7&-6-\lambda \end{array} \right)}\) ma nietrywialne jądro, czyli równoważnie- jest osobliwa. Żądamy więc, by nie miała maksymalnego rzędu (w tym wypadku równego \(\displaystyle{ 4}\)). Ponieważ operacje elementarne na kolumnach/ wierszach macierzy nie zmieniają jej rzędu, możemy dodać do trzeciej kolumny tej macierzy, kolumnę drugą i czwartą. Otrzymamy macierz:
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccc} 19-\lambda&5&0&14\\ -10&-3-\lambda&-2-\lambda&-9\\ 10&2&-2-\lambda&7\\ -8&-3&-2-\lambda&-6-\lambda \end{array} \right)}\). Gołym okiem widać, że jeśli \(\displaystyle{ \lambda=-2}\), to macierz będzie osobliwa. Stąd \(\displaystyle{ \lambda= -2}\) jest wartością własną. Ponieważ i tak interesują nas wymierne wartości własne- tym sposobem możemy znaleźć je wszystkie
Moja podpowiedź do wyznaczenia następnej wartości własnej: spojrzeć na pierwszy, trzeci i czwarty wiersz

Dodam, że rozumienie pojęć i posiadanie pewnych intuicji w algebrze liniowej jest w stanie niejednokrotnie wybawić nas od nierzadko paskudnych rachunków
Warto więc poświęcić trochę czasu choćby podstawowej teorii i zrozumieniu zagadnienia- potem zadania same się robią