Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Grochowickajajestem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 5 cze 2018, o 17:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków

Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu.

Post autor: Grochowickajajestem » 5 cze 2018, o 18:13

1.Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ y(0) = 1 , y'(0)=0}\).
Wyznaczyć rozwiązanie równania, spełniające ten warunek.
\(\displaystyle{ y''+2y'-8y=2e^{-2x} - e^{-x}}\)

2. Funkcje \(\displaystyle{ y_1 =x}\) i \(\displaystyle{ y_2 = x \ln x}\) tworzą układem fundamentalnym równania jednorodnego \(\displaystyle{ x^{2}y'' -xy' +y = 0}\) w przedziale \(\displaystyle{ ( 0,+ \infty )}\).
Wyznaczyć ogólne rozwiązanie niejednorodnego \(\displaystyle{ x^{2}y'' -xy' +y = 4x \ln x}\).

Próbowałam znaleźć pomoc, jednak nie jestem najlepsza w tej dziedzinie matematyki. Nie potrafie rozwiązać tych zadań w oparciu o podobne zadania tego typu, większość osób tłumaczy to w taki sposób, jakbym robiła je od urodzenia. Kolokwialnie rzecz ujmując, chciałabym zapytać o pomoc w rozwiązaniu zadań " Jak krowie na rowie". Serdecznie dziękuje, pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 5 cze 2018, o 23:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu.

Post autor: janusz47 » 5 cze 2018, o 21:18

Zadanie 1

\(\displaystyle{ y'' +2y' -8y = 2e^{-2x} - e^{-x}, \ \ y(0) = 1, \ \ y'(0) = 0}\) (C)

Rozwiązanie ogólne \(\displaystyle{ y_{o}}\) równania jednorodnego

\(\displaystyle{ y'' +2y' - 8y = 0.}\)

Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ \lambda^2 +2\lambda - 8 = 0}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{1}= -4, \ \ \lambda_{2}= 2.}\)

\(\displaystyle{ y_{o} = C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{2x}.}\)

Rozwiązanie szczególne\(\displaystyle{ y_{s}}\) równania niejednorodnego będzie sumą rozwiązań szczególnych równań:

\(\displaystyle{ a)\ y'' +2y' +8y = 2e^{-2x}, \ \ b)\ y'' +2y' +8y = -e^{-x}}\)

Z twierdzenia o rozwiązaniach równania liniowego drugiego rzędu - rozwiązanie szczególne równania a) jest postaci \(\displaystyle{ a e^{-2x}}\) równania b) \(\displaystyle{ be^{-x}}\)

Muszą więc zachodzić równości:

\(\displaystyle{ 4ae^{-2x} - 4ae^{-2x} +8ae^{-2x} = 2e^{-2x}, \ \ be^{-x}-2be^{-x}+8be^{-x}= -e^{-x}.}\)

stąd

\(\displaystyle{ 8a = 2e^{-2x}, \ \ 7be^{-x} = -e^{-x},}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{1}{4}, \ \ b=- \frac{1}{7}.}\)

Rozwiązania szczególne równania \(\displaystyle{ y_{s} = \frac{1}{4}e^{-2x} - \frac{1}{7}e^{-x}.}\)


Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:

\(\displaystyle{ y = y_{o} + y_{s} = C_{1}e^{-4x}+C_{2}e^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x} -\frac{1}{7}e^{-x}}\) (1)

Uwzględniamy warunki początkowe :

\(\displaystyle{ \begin{cases} C_{1}+ C_{2}+ \frac{1}{4}-\frac{1}{7}= 1\\ -4C_{1}+2C_{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{7} = 0 \end{cases}}\)

Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ C_{1}= \frac{20}{84}, \ \ C_{2} = \frac{55}{84}}\) (proszę sprawdzić).


Rozwiązaniem problemu Cauchy (C) jest funkcja

\(\displaystyle{ y_{C} = \frac{20}{84}e^{-4x} +\frac{55}{84}e^{2x}+\frac{1}{4}e^{-2x} -\frac{1}{7}e^{-x}.}\)
Ostatnio zmieniony 5 cze 2018, o 23:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ