Rozwiąż równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
r3vis3d
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 4 paź 2017, o 15:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 3 razy

Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: r3vis3d » 5 cze 2018, o 12:33

Czy mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać to równanie różniczkowe?
\(\displaystyle{ y' - \frac{2y}{x+1} = (x+1) ^{3}; y(0) = \frac{1}{2}}\)
Wiem, że trzeba wyzerować prawą stronę i wychodzi:
\(\displaystyle{ y = 2x + c_{1}}\)
ale co potem? :/

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 473
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 111 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: Belf » 5 cze 2018, o 12:44

\(\displaystyle{ y=C \cdot e^{ \int \frac{2}{x+1}dx} = C \cdot e^{2\ln \left( x+1 \right) } = C \cdot e^{\ln \left( x+1 \right) ^2} = C \cdot \left( x+1 \right) ^2}\)
i teraz uzmiennij stałą.

-- 5 cze 2018, o 11:53 --

A jeśli nie znasz tego wzoru, to:

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= \frac{2}{x+1} \\ \frac{ \mbox{d}y }{2y}= \frac{ \mbox{d}x }{x+1} \\ \ln y=2\ln \left( x+1 \right) + C_1 \\ \ln y=\ln \left( x+1 \right) ^2 + C_1\\ y=C \cdot \left( x+1 \right) ^2}\)

Ostateczny wynik: \(\displaystyle{ y= \left( \frac{1}{2}x^2+x+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left( x+1 \right) ^2}\)
Ostatnio zmieniony 5 cze 2018, o 13:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

r3vis3d
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 4 paź 2017, o 15:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 3 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: r3vis3d » 10 cze 2018, o 12:55

A w jaki sposób znalazłeś
\(\displaystyle{ y= \left( \frac{1}{2}x^2+x+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left( x+1 \right) ^2}\)
\(\displaystyle{ y = C \cdot \left( x+1 \right) ^2}\)
Skoro:
\(\displaystyle{ y' = 2c\left(x+1\right) + c'\left(x+1\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2c\left(x+1\right) + c'\left(x+1\right) ^{2} - \frac{2C \cdot \left( x+1 \right) ^2}{x+1} = \left(x+1 \right) ^{3}}\)
\(\displaystyle{ c' = \left( x+1\right) ^{2}}\)
PS. tak nie ogarniam tego typu równań.

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1098
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 114 razy

Re: Rozwiąż równanie różniczkowe

Post autor: Benny01 » 10 cze 2018, o 12:59

\(\displaystyle{ c'=x+1}\)
Całkując to równanie dostajemy, że
\(\displaystyle{ c= \frac{x^2}{2}+x+K}\)
\(\displaystyle{ y=\left( \frac{x^2}{2}+x+K\right) \cdot \left( x+1\right)^2}\)
Podstawiając warunek początkowy dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=K}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ y=\left( \frac{x^2}{2}+x+\frac{1}{2} \right) \cdot \left( x+1\right)^2}\)

ODPOWIEDZ