Matematyka.pl

Witam mam takie nietypowe dla mnie zadanie udowodnij że
\(\displaystyle{ n^{3}< 2^{n}}\) mógłby ktoś pomóc ? i wytłumaczyć jak to zrobić

To nie jest prawda dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), należy założyć np. \(\displaystyle{ n\ge 10}\).
Indukcja:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Dla \(\displaystyle{ n=10}\) mamy \(\displaystyle{ 10^3<1024=2^{10}}\), czyli się zgadza.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\)
W kroku indukcyjnym przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN, \ n\ge 10}\)
zachodzi \(\displaystyle{ n^3<2^n}\). Pokażemy, że wówczas \(\displaystyle{ (n+1)^3<2^{n+1}}\).
Mamy
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n}=1+\frac 1 n \le1+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}}\), więc
\(\displaystyle{ (n+1)^3=n^3\left( \frac{n+1}{n}\right)^3\le n^3\cdot \left( \frac{11}{10}\right)^3=n^3\cdot \frac{1331}{1000} <2n^3<2\cdot 2^n=2^{n+1}}\)
gdzie w ostatniej nierówności korzystamy z założenia indukcyjnego.