[Analiza] suma szeregu

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

[Analiza] suma szeregu

Post autor: robin5hood » 1 paź 2007, o 21:11

Obliczyć sumę szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\frac{\pi}{3^n}}{\sin\frac{\pi}{2^n}}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

[Analiza] suma szeregu

Post autor: Grzegorz t » 21 wrz 2008, o 21:10

\(\displaystyle{ \begin{cases}sin\frac{\pi}{3^n} qslant \frac{\pi}{3^n}\\sin\frac{\pi}{2^n} qslant \frac{\pi}{2^n}\end{cases}}\) są spełnione, gdy \(\displaystyle{ n }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin\frac{\pi}{3^n}}{sin\frac{\pi}{2^n}}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{\pi}{3^n}}{\frac{\pi}{2^n}}= \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{3})^n=2}\)

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

[Analiza] suma szeregu

Post autor: przemk20 » 22 wrz 2008, o 07:26

Grzegorz t pisze:\(\displaystyle{ \begin{cases}sin\frac{\pi}{3^n} qslant \frac{\pi}{3^n}\\sin\frac{\pi}{2^n} qslant \frac{\pi}{2^n}\end{cases}}\) są spełnione, gdy \(\displaystyle{ n }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin\frac{\pi}{3^n}}{sin\frac{\pi}{2^n}}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{\pi}{3^n}}{\frac{\pi}{2^n}}= \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{3})^n=2}\)
nie sadze zeby tak bylo..., przeciesz sumujesz od n=1 a nie od \(\displaystyle{ n=\infty}\)

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

[Analiza] suma szeregu

Post autor: Grzegorz t » 22 wrz 2008, o 08:28

Będzie taka suma, bo można to wykazać z twierdzenia o trzech ciągach c.d.n

[ Dodano: 22 Września 2008, 08:39 ]
\(\displaystyle{ sin n qslant \frac{2}{\pi}\cdot n, sinn qslant n, n (0, \frac{\pi}{2})**}\)

\(\displaystyle{ \frac{\frac{2}{\pi}\cdot \frac{\pi}{3}}{\frac{2}{\pi}\cdot \frac{\pi}{2}}+... qslant S qslant \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{2}}+...}\) Nie chcę już tego rozpisywać, ale każdy wyraz szeregu spełnia te nierówności \(\displaystyle{ **}\). Czy ma ktoś może odpowiedź do tego zadania?

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

[Analiza] suma szeregu

Post autor: przemk20 » 22 wrz 2008, o 09:06

nie wydaje mi sie bo jesli masz
\(\displaystyle{ x \frac{2}{\pi} < \sin x < x \\
\frac{2}{3} < \sin \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3} \\
\frac{2}{\pi}< \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2} } < 1 \\
\frac{4}{3 \pi } < \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{2} } < \frac{\pi}{3} \\
\frac{4}{ \pi } < S }\)
Ostatnio zmieniony 18 gru 2008, o 21:05 przez przemk20, łącznie zmieniany 1 raz.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

[Analiza] suma szeregu

Post autor: Wasilewski » 22 wrz 2008, o 14:35

Już pierwsze dwadzieścia wyrazów daje prawie 2,25 (i taka pewnie będzie suma, bo już wyrazy są bardzo bliskie zera).

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

[Analiza] suma szeregu

Post autor: Sir George » 16 gru 2008, o 14:27

Hmmm, Mathematica podaje jak sumę (przy sumowaniu ponad 150 wyrazów) 2,2471481860358501745618008598817468414100...
Nie wydaje mi się, żeby było to sensownie z czymkolwiek powiązane, więc raczej nie ma co liczyć na "rozsądne" rozwiązanie analityczne.
Również wydaje mi się, że w zadaniu chodziło raczej o uzasadnienie zbieżności szeregu niż o konkretną wartość sumy...

Pozdrawiam,

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

[Analiza] suma szeregu

Post autor: przemk20 » 29 gru 2008, o 18:40

mozna by np probowac jakos tak,
sprobojmy sopbie utozsamic nasz szereg z pewnym szeregiem Fouriera, o wspolczynnikach \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2^k}}}\)
kladac
\(\displaystyle{ u= \frac{\pi}{3^k}
\pi 2^{-k} = u 2^{\log_3 2} = u b, \ 0< u < \pi \\}\)

wezmy sobie teraz funkcje f taka ze:
\(\displaystyle{ \hat{f} (u) = \sin (ub)}\)
pozostaje znalezc transformate odwrotna do \(\displaystyle{ \sin (ub)}\) z czym mam narazie klopot
no i \(\displaystyle{ \Im f(1)}\) byloby poszukiwana wartoscia, tylko czy czy ten szereg bylby zbiezny do f(1)

ODPOWIEDZ