Rozwiaz równanie rózniczkowe?

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Vidar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 18 wrz 2016, o 13:56
Płeć: Mężczyzna

Rozwiaz równanie rózniczkowe?

Post autor: Vidar » 3 cze 2018, o 23:15

Witam,
W jaki sposób można rozwiązać to zadanie, może mnie ktos naprowadzić o jakąś metodę lub jakąkolwiek sugestie?

\(y''(t)=-y(t)+e^t, y(0)=0, y'(0)=1\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14144
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Rozwiaz równanie rózniczkowe?

Post autor: Premislav » 3 cze 2018, o 23:21

Najpierw spójrzmy na równanie jednorodne:
\(y''(t)=-y(t)\)
To dość znany problem (jak coś, to można przewidywać postać \(y(t)=e^{rt}\), wstawić i rozwiązać równanie), wychodzi z tego rozwiązanie równania jednorodnego
\(y_j(t)=C_1 \cos (t)+C_2\sin (t)\)
Następnie w celu znalezienia rozwiązania szczególnego \(y_{sz}(t)\) równania niejednorodnego
\(y''(t)=-y(t)+e^t\)
możesz skorzystać z metody przewidywań.

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego
będzie postaci \(y_j(t)+y_{sz}(t)\), zaś wstawiając te warunki
\(y(0)=0, y'(0)=1\)
i tworząc układ równań, obliczysz wartość stałych \(C_1\) i \(C_2\).

Vidar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 18 wrz 2016, o 13:56
Płeć: Mężczyzna

Re: Rozwiaz równanie rózniczkowe?

Post autor: Vidar » 3 cze 2018, o 23:34

Czy odwrotna transformata laplaca wchodzi tutaj w grę?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14144
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Rozwiaz równanie rózniczkowe?

Post autor: Premislav » 3 cze 2018, o 23:40

A można, jak najbardziej.
Przyda się wzór
na transformatę Laplace'a pierwszej i drugiej pochodnej, chyba że miałeś jakąś szybszą metodę.

Vidar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 18 wrz 2016, o 13:56
Płeć: Mężczyzna

Re: Rozwiaz równanie rózniczkowe?

Post autor: Vidar » 3 cze 2018, o 23:41

Dobrze, zrobię to jutro i dam znać. Bardzo dziękuję za odpowiedź!
Pozdrawiam

ODPOWIEDZ